原子物理习题解答

Byghrui1芮光浩[e-mail]2Byghrui31.1根据汤姆孙的原子模型，已知氢原子的电离能是13.6ev(1)试确定氢原子的半径（请先写出均匀电荷分布球内的电势）(2)若氢原子的辐射波长为0.6um，试估算原子的半径。解：（1）当rR时，E1∙ds=E1∗4π𝑟2=er3ε0R3当rR时，E2∙ds=E2∗4π𝑟2=eε0⇒E1=er4πε0R3，E2=e4πε0𝑟2U=E1dr+E2dr=3e8πε0R∞R𝑅0E=eU=13.6ev⇒R=0.16nm（2）m𝑣2𝑅=𝑘𝑒2𝑅2E=ℎ𝑐𝜆+12𝑚𝑒𝑣2⇒𝑅=0.29𝑛𝑚Byghrui41.2动能T=0.87Mev的质子轰击静止的汞核，当散射角𝛉=𝛑𝟐时，求它们之间的最小距离和瞄准距离。解：最小距离rm=D21+1sinθ2=18πε0∗zZe2E1+1sinθ2=e24πε0∗zZ2E∗1+2=1.44ev∙nm∗800.87∗106ev∗1+2=1.59∗10−4nm瞄准距离b=D∗cosθ22=D2=12∗e24πε0∗zZE=12∗1.44∗800.87∗106≐6.6∗10−5nmByghrui51.4动能T=1.20Mev的质子和金原子核散射，散射在从𝛉=𝛑𝟑到𝛑的角间隔内，试计算与此相应的散射截面。解：由dσ=πD24∗cosθ2sin3θ2dθ得σ=πD24cosθ2sin3θ2dθ=ππ3πD22cosθ2sin3θ2dθ2π2π6=πD221sin3θ2dsinθ2=112πD22∗−12∗sin2θ2121=34∗πD2=34π∗e24πε02∗zZE2=34π∗1.44ev∙nm2∗791.2∗1062=2.11∗10−8nm2Byghrui61.6对于氢原子、𝐇𝐞+、𝐋𝐢++,若认为原子核是不动的，试计算（1）前两个波尔轨道的半径及电子在这些轨道上的速度（2）电子在基态的动能和它的结合能（3）第一激发电势及共振线（指第一激发态和基态间的跃迁辐射）的波长解：（1）对于氢原子：波尔轨道半径r1=4πϵ0ℏ2mee2=a0=0.053nmr2=4∗a0=0.212nm速度v1=e24πϵ0ℏ=2.2∗106msv2=v12=1.1∗106ms对于He+：波尔轨道半径r1=a02=0.026nmr2=4∗r1=0.11nm速度v1=e24πϵ0ℏ∗21=4.4∗106msv2=v12=2.2∗106ms对于Li++：波尔轨道半径r1=a03=0.018nmr2=4∗r1=0.071nm速度v1=e24πϵ0ℏ∗31=6.6∗106msByghrui7v2=v12=3.3∗106ms（2）由En=2π2mee4Z2(4πε0)2ℏ2n2，得H:Z=1,E1=12mec2α2=13.6evHe+:Z=2,E1=13.6∗4=54.4evLi++:Z=3,E1=13.6∗9=122.4ev（3）H：E=RHhc11−122=34RHhc=34∗13.6ev=10.2ev第一激发电势v1=Ee=10.2V第二能级的能量：E2=E14=−13.6ev4=−3.4ev共振波长λ=hcE2−E1=124213.6−3.4=121.7nmHe+:E=hc∗4RH11−122=40.8ev第一激发电势v1=Ee=40.8V第二能级的能量：E2=E14=−13.6ev∗44=−13.6ev共振波长λ=hcE2−E1=124213.6∗3=30.4nm𝐋𝐢++:E=hc∗9RH11−122=91.8ev第一激发电势v1=Ee=91.8V第二能级的能量：E2=E14=−13.6ev∗94=−30.6ev共振波长λ=hcE2−E1=13.5nmByghrui81.7已知氢原子的电离能为13.6ev.试求𝐁++++类氢离子从n=2能级跃迁到n=1的辐射能量.解：由Ei=25RHhc11−1n2得E1=25RHhc11−1∞2=25*13.6ev辐射能量∆E=25RHhc11−122=34∗25∗13.6ev=255evByghrui91.12若氢原子被激发到n=10的能级，试问氢可能发射出多少条谱线？解：谱线总数为𝐶102=45条Byghrui101.14对于一个正电子和负电子所组成的原子体系（电子偶素），试求出：（1）在基态时离子之间的距离（2）电离电势和第一激发电势（3）里德伯常数和共振线（指第一激发态和基态间的跃迁辐射）的波长解：正电子素的原子核是正电子，其质量为M，电子质量为m，因为二者相等，则：μ=Mmm+M=m2相应的里德伯常数为R=mm+M∗R∞=R∞2因此，正电子素原子的能量为E正电子素=−RhcZ2n2=−R∞hcZ22n2所发出谱线的波数为~=1λ=νc=R∞2Z2(1n′2−1n2)（1）负电子绕正电子转动r=4πε0ℏ2μe2=4πε0ℏ2mee2∗2=2a0=0.106nm（2）n=1E1=−R∞hc2=−6.8evByghrui11因此，电离能为6.8ev，电离电势为6.8vn=2E=hcR∞21−122=34∗6.8ev=5.1ev因此，第一激发电势为5.1v（3）里德伯常量R=R∞2=0.5487∗107m−1共振线波长λ=hcE=12426.8−1.7=243nmByghrui121.16设氢原子原来是静止的，求当由n=4的态直接跃迁到n=1的态时原子的反冲速度、发射光子的波长，并给出与不考虑反冲时光子的波长的差别。解：hν=E2−E1=hcRH(11−142)=13.6ev∗1546=12.75ev光子的能量为12.75ev，依据E2=p2c2+E02考虑到光子的静止能量为0，对应的动量为p=E2−E02c2=E2c2=Ec=m光子c=12.75evc因为m光子c=M原子V反冲V反冲=m光子cM原子=12.75ev938.272∗106evc2∗c=4.08m/sλ=hcE=124212.75=97.41nmByghrui132.5计算下列粒子的德布罗意波长：（1）50eV的光子（2）动能为50eV的电子（3）动能为50eV的中子（中子的静止能为940MeV）解：（1）E=hν⇒E=hcλ因此λ=hcE=124250=24.84nm（2）λ=h2meEk=hc2meEkc2=12.4KeV∙oA5∗511∗0.05KeV=0.174nm（3）p=2mEk=2∗E0c2Ek=2E0Ekcλ=hp=hc2E0Ek=12422∗50∗940∗106=0.0041nmByghrui142.8同时确定一个15eV的电子的位置和动量，若位置的误差为0.1mm，试求动量的不确定量。解：∆p∙∆x≥h⇒∆p≥h∆x=6.63∗10−340.1∗10−9=12.4KeV∙c−1Byghrui152.9下列各粒子限制在限度L的一维盒中，请利用海森伯不确定关系式估计它们具有的最小动能：（1）电子限制在L=1Å的盒子中；（2）电子限制在L=10fm（原子核尺寸）的盒子中，1fm=𝟏𝟎−𝟏𝟓𝐦；（3）中子（静止能量为940MeV）限制在L=10fm的盒子中；（4）质量为m=𝟏𝟎−𝟔𝐠的粒子限制在L=𝟏𝟎−𝟔𝐦的盒子中；解：由海森伯不确定关系式得∆E≥h2c22mec2∆x2（1）Emin=(1.24∗10−6)22∗0.511∗106∗(10−10)2=150ev（2）Emin=(1.24∗10−6)22∗0.511∗106∗(10−14)2=15Gev（3）Emin=(1.24∗10−6)22∗940∗106∗(10−14)2=8.2Mev（4）Emin=(6.62∗10−34)22∗106∗(10−6)2=2.2∗10−46evByghrui162.10金属中的电子在近表面处所受到的势场可近似为阶跃势场，试估算铜中的自由电子的透入距离（设铜的功函数为4eV）解：透入距离1k2=ℏ2m(v0−E)=6.63∗10−342.3.14∗2∗9.1∗10−31∗4∗1.6∗10−19=0.097ÅByghrui172.11质量为m的粒子在一无限深势阱中运动，它的能量本征函数u(x)=sinkx,试计算它的非相对论动能。解：因为ka2=nπ2⇒k=nπa又Bn=1=2a⇒a=2即k=nπ2k=2mEℏ⇒E=k2ℏ22m=ℏ2n2π28m（n为偶数）Byghrui182.12质量为m的粒子在一维势场V(x)=𝟏𝟐𝐦𝐰𝟐𝐱𝟐中运动。（1）写出它的定态薛定谔方程；（2）已知它的哈密顿算符的本征函数为𝐮𝟎(𝐱)=𝐞−(𝐦𝐰𝟐ℏ)𝐱𝟐𝐮𝟏(𝐱)=𝟐𝐦𝐰ℏ𝐱𝐞−(𝐦𝐰𝟐ℏ)𝐱𝟐试计算每个本征函数的能量本征值；（3）试由不确定关系，∆𝐱∆𝐩≈ℏ,证明粒子的最低能量≈𝟏𝟐ℏ𝐰解：（1）−ℏ22md2uxdx2+12mw2x2ux=Eux（2）En=(n+12)ℏw因此E0=12ℏw,E1=32ℏw（3）线性谐振子的能量:E=P22m+12mw2x2坐标不确定量为：∆x=x动量不确定量为：∆p=pE=∆P22m+12mw2(∆x)2有∆x∆p≈ℏE=ℏ22m(∆x)2+12mw2(∆x)2,令(∆x)2=yE=ℏ22my+12mw2y,令dEdy=0⇒−ℏ22my2+12mw2=0⇒y=ℏmw不考虑一维谐振子的动能，则：Emin=12mw2ℏmw=12ℏwByghrui192.14假如电子被束缚在一个宽度为1Å的无限深势阱，试计算它处在最低的三个能态的能量。解：E=π2ℏ2n22ma2=h22n22ma2=(6.63∗10−342)2n22∗9.11∗10−31∗(10−10)2=37.7∗n2evE1=37.7eVE2=4∗E1=150.8eVE3=9∗E1=339.3eVByghrui202.20设一个电子在离质子很远处是静止的，在与质子的库仑作用下向质子靠近。求当电子距质子1m和0.5Å处时，它相应的德布罗意波长。解：在R=∞时，电子与质子相对静止，认为此处势能为0.R=1m时：Ek=e24πε0R=(1.6∗10−19)24π∗8.85∗10−12=1.44∗10−9eV因为Ek≪电子静止质量能（0.511MeV）因此用非相对论公式：λ≈h2meEk=6.63∗10−342∗9.11∗10−31∗0.023∗10−26≈32.39umR=0.5Å时:Ek=e24πε0R=(1.6∗10−19)24π∗8.85∗10−12∗0.5∗10−10=28.75eVλ≈h2meEk=6.63∗10−342∗9.11∗10−31∗0.0046∗10−16≈0.23nmByghrui213.1试问基态氢原子是否能够吸收可见光？解：可见光的波长范围约为400-800nmh𝑐𝜆=𝐸𝑛−𝐸1,(n=2,3,4…)𝐸𝑛=𝐸1n2,（n=2,3,4…）所以：𝜆=hc|𝐸1|∗𝑛2𝑛2−1,其中hc|𝐸1|=124013.6=91.18nm𝜆=91.18nm∗1+1𝑛2−1≤121nm因此，基态氢原子不能吸收可见光。Byghrui223.2试问氢原子处于n=2的能级有多少个不同的状态？并列出各个状态的量子数。解：因为0≤l≤n−1,则l=0,1S=1/2当l=0时，j=l+1/2,|l-1/2|=1/2有2122S，mj=j,j-1,…,-j=±12，两种状态当l=1时，j=l+1/2=3/2，j=|l-1/2|=1/2有2122P，mj=±12，两种状态2322S，mj=±12，±32，四种状态一共8种不同的状态Byghrui233.3已知氢原子的状态波函数为𝐮𝐧𝐥𝐦=𝟏𝟖𝟏𝟔𝛑𝐚𝟎𝟑𝟐𝐫𝐚𝟎𝟐𝐞−𝐫𝟑𝐚𝟎(𝟑𝐜𝐨𝐬𝟐𝛉−𝟏)试通过对𝐮𝐧𝐥𝐦的主要特征的分析，确定量子数n,l,𝐦𝐥的值。解:n=3l=2ml=0Byghrui243.4试给出氢原子中电子在基态时的平均电势解：U=−e24πε