数学培优竞赛新方法(九年级)-第23讲-几何定值

第23讲几何定值知识纵横几何定值，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些集合性质或位置关系不变。解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量和变量，运用极端位置、特殊位置、直接计算等方法，先探求出定值，再给出一般情形下的证明。例题求解【例1】（1）如图1，圆内接ABC中，CABCAB，OEOD,为圆O的半径，BCOD于点F，ACOE于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是ABC的面积的31.（2）如图2，若DOE保持120角度不变，求证：DOE绕着O点旋转时，由两条半径和ABC的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是ABC的面积的31．（广东省中考题）思路点拨对于（1），连OCOA、，则要证明ABCOACSS31，只需证明OCFOAG；对于（2），类比（1）的证明方法证明。【例2】如图，⊙1O和⊙2O外切于点A，BC是⊙1O和⊙2O的公切线，CB,为切点．（1）求证：ACAB；（2）过点A的直线分别交⊙1O和⊙2O于点ED,，且DE是连心线时，直线DB与直线EC交于点F．请在图中画出图形，并判断DF与EF是否互相垂直，请证明；若不垂直，请说明理由；（3）在（2）的其他条件不变的情况下，将直线DE绕点A旋转（DE不与点CBA,,重合），请另画出图形，并判断DF与EF是否互相垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．（沈阳市中考题）思路点拨按题意画出图形，充分运用角的知识证明若90DFE，则EFDF这一位置关系不变。【例3】如图，定长的弦ST在一个以AB为直径的半圆上滑动，M是ST的中点，P是S对AB作垂线的垂足，求证：不管ST滑到什么位置，SPM是一定角．（第18届加拿大数学竞赛题）思路点拨不管ST滑到什么位置，弧ST及SOT的度数都是定制，从探寻SPM与SOT的关系入手。【例4】如图，扇形OAB的半径3OA，圆心角90AOB，点C是弧AB上异于BA,的动点，过点C作OACD于点D，作OBCE于点E，连接DE，点HG,在线段DE上，且HEGHDG.（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；（2）当点C在弧AB上运动时，在DGCGCD,,中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；（3）求证：223CHCD是定值．（广州市中考题）思路点拨对于（3），设法把CH用CD的代数式表示，通过计算的方式确定定值。而随着辅助线添加的不同，为探索不同的解题思路提供了可能，而解题的关键是对等分点条件的运用。【例5】如图，已知等边ABC内接于圆，在劣弧AB上取异于BA、的点M，设直线AC与BM相交于K，直线CB与AM相交于点N，证明：线段AK和BN的乘积与M点的选择无关．（湖北省竞赛题）思路点拨即要证BNAK是一个定值，在图形中ABC的边长是一个定值，说明BNAK与AB有关，从图知AB为ABM与ANB的公共边，作一个大胆的猜想，2ABBNAK，从而我们的证明目标更加明确．以退为进【例6】如图1，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上，⊙M交x轴于BA,两点，交y轴于DC,两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为8,0,2AE．（1）求点C的坐标；（2）连接BCMG,，求证：BCMG∥；（3）如图2，过点D作⊙M的切线，交x轴于点P．动点F在⊙M的圆周上运动时，PFOF的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．（深圳市中考题）学力训练基础夯实1.阅读下列材料，然后解答问题．经过正四边形（即正方形）各顶点的圆叫做这个正四边形的外接圆，圆心是正四边形的对称中心，这个正四边形叫做这个圆的内接正四边形．如图，已知正四边形ABCD的外接圆⊙O，⊙O的面积为1S，正四边形ABCD的面积为2S，以圆心O为顶点作MON，使90MON，将MON绕点O旋转，ONOM,分别与⊙O相交于点FE,，分别与正四边形ABCD的边相交于点HG,．设由,,OFOE弧EF及正四边形ABCD的边围成的图形（图中的阴影部分）的面积为S.（1）当OM经过点A时（如图①），则21,,SSS之间的关系为：S（用含1S、2S的代数式表示）；（2）当ABOM时（如图②），点G为垂足，则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由；（3）当MON旋转到任意位置时（如图③），则（1）中的结论仍然成立吗？请说明理由．（邵阳市中考题）2.如图，在等腰三角形ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与ACAB,相切，切点分别为ED,．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交ACAB,于NM,．求证：CNBM为定值。3．如图，已知等边三角形ABC的周长为a，P为其内任一点，ABPD于D，BCPE于E，ACPF于F。求证：（1）PFPEPD为定值；（2）CFBEAD为定值。（三明市中考题）4.已知半径为R的⊙'O经过半径为r的⊙O的圆心，⊙O与⊙'O交于FE,两点．（1）如图1，连接'OO交⊙O于点C，并延长交⊙'O于点D，过点C作⊙O的切线交⊙O′于BA,两点，求OBOA的值；（2）若点C为⊙O上一动点．①当点C运动到⊙'O内时，如图2，过点C作⊙O的切线交⊙O′，于BA,两点，则OBOA的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由；②当点C运动到⊙'O外时，过点C作⊙O的切线，若能交⊙O于BA,两点，如图3，则OBOA的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由．（济南市中考题）能力拓展5.如图，内接于圆O的四边形ABCD的对角线AC与BD垂直相交于点K，设圆O的半径为R，求证：（1）2222DKCKBKAK是定值；（2）2222DACDBCAB是定值。CBAKDO6.如图，已知P为正方形ABCD的外接圆的劣弧AD上任意一点，求证：PBPCPA为定值。7.如图，已知ABC为直角三角形，BCACACB,90，点CA,在x轴上，点B坐标为0,3mm，线段AB与y轴相交于点D，以0,1P为顶点的抛物线过点DB,．（1）求点A的坐标（用m表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，试证明：ECACFC为定值．（湘潭市中考题）8.如图所示，四边形OABC是矩形，点CA,的坐标分别为2,0,0,6，点D是线段BC上的动点（与端点CB,不重合），过点D作直线bxy21交折线OAB于点E．（1）记ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形1111CBAO，试探究四边形1111CBAO与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．（广州市中考题）综合创新9.如图1所示，以点0,1M为圆心的圆与y轴，x轴分别交于点DCBA,,,，直线33533xy与⊙M相切于点H，交y轴于点E，交y轴于点F．（1）请直接写出OE，⊙M的半径r，CH的长；（2）如图2所示，弦HQ交x轴于点P，且2:3:PHDP，求QHCcos的值；（3）如图3所示，点K为线段EC上一动点（不与CE,重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足aMKMN？如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．（深圳市中考题）10.小明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线02aaxy的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于BA,两点，请解答以下问题：（1）若测得2OBOA（如图1），求a的值；（2）对同一条抛物线，小明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作xBF轴于点F，测得1OF，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标；（3）对该抛物线，小明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点BA,的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．（2011年株洲市中考题）