高三数学一轮精品复习学案：第三章三角函数、解三角形(31三角函数)

状元源免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。2011版高三数学一轮精品复习学案：第三章三角函数、解三角形3．1三角函数【高考目标定位】一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1、考纲点击（1）了解任意角的概念；（2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；（3）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（4）理解同角三角函数的基本关系式：22sinsincos1,tancosxxxxx2、热点提示（1）三角函数定义的理解和运用，如已知角α的终边上一点求相关问题或三角函数值的符号的选取等。（2）同角三角函数间的关系，可单独考查，也可能与其他知识结合起来考查。（3）考查题型多为选择题或填空题。二、三角函数的诱导公式1、考纲点击能利用单位圆中的三角函数线推导出,2的正弦、余弦、正切的诱导公式。2、热点提示（1）利用诱导公式求角的三角函数值或求三角函数式的值是高考考查的重点；（2）在三角函数式的化简或证明中，间接考查诱导公式；（3）多以选择题、填空的形式考查。三、三角函数的图象与性质1、考纲点击（1）能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象，了解三角函数的周期性；（2）理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质（如单调性、最大值和最小值状元源免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。以及与x轴的交点等），理解正切函数在区间,22内的单调性。2、热点提示（1）三角函数的图象在每年的高考中都有考查，应熟练掌握各个三角函数的图象；（2）三角函数的周期性、最值、单调性是高考重点考查的内容，应重点掌握；（3）多以选择题、填空题的形式考查，属容易题。四、函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用1、考纲点击（1）了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义；能画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；（2）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题。2、热点提示（1）用“五点作图法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象，同时考查三角函数图象的变换和对称性；（2）函数y=Asin(ωx+φ)的周期性、奇偶性、单调性、值域与最值是高考考查的重点；（3）三种题型都可能出现，以容易题、中档题为主。五、两角和与差的正弦、余弦和正切公式1、考纲点击（1）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；（2）能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；（3）能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。2、热点提示（1）灵活运用两角和与差的三角函数公式进行化简，恒等变换、求值，是高考经常考查的内容；（2）二倍角公式的正用、逆用、变形用是高考考查的热点；（3）对asinx+bcosx的化简是高考每年必考内容；（4）三种题型均有可能出现，以中档题为主。六、简单的三角恒等变换状元源免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。1、考纲点击能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）。2、热点提示（1）灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变换，进而考查三角函数的图象和性质是高考的热点内容；（2）以三角函数为背景、向量为载体考查恒等变形能力以及运用正、余弦定理判定三角形的形状，求三角的面积等问题是知识交汇点处命题的一个热点问题；（3）多以解答题的形式呈现，属中、低档题。【考纲知识梳理】一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1、任意角（1）角概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角；②按终边位置不同分为象限角和轴线角。（2）终边相同的角终边与角α相同的角可写成α+k·360o(k∈Z)。（3）象限角及其集合表示象限角象限角的集合表示第一象限角的集合{α|2kπα2kπ+2,k∈Z}第二象限角的集合{α|2kπ+2α2kπ+,k∈Z}第三象限角的集合{α|2kπ+α2kπ+32,k∈Z}第四象限角的集合{α|2kπ+32α2kπ+2,k∈Z}注：终边在x轴上的角的集合为{α|α=kπ,k∈Z};终边在y轴上的角的集合为{α|α=kπ+2,k∈Z};终边在坐标轴上的角的集合为{α|α=2k,k∈Z}2、弧度制（1）1弧度的角状元源免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示。（2）角α的弧度数如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l,那么角α的弧度数的绝对值是|α|=l/r.（3）角度与弧度的换算①10=π/180rad;②1rad=（180/π）0.（4）弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r。又l=rα,则扇形的面积为S=12lr=12r2α3、任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么y叫做α的正弦，记作sinαx叫做α的余弦，记作cosαy/x叫做α的正切，记作tanα各象限符号Ⅰ+++Ⅱ+--Ⅲ--+Ⅳ-+-口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦终边相同角三角函数值(k∈Z)（公式一）sin(α+k·2π)=sinαcos(α+k·2π)=cosαtan(α+k·2π)=tanα三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线注：根据三角函数的定义，y=sinx在各象限的符号与此象限点的纵坐标符号相同；y=cosx在各象限的符号与此象限点的横坐标符号相同；y=tanx在各象限的符号与此象限点的纵坐标与横坐标商的符号相同。状元源免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。4、同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α=1;（2）商数关系：sintancos二、三角函数的诱导公式1、下列各角的终边与角α的终边的关系角2kπ+α(k∈Z)π+α-α图示与α角终边的关系相同关于原点对称关于x轴对称角π-α2-α2+α图示与α角终边的关系关于y轴对称关于直线y=x对称2、六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-α2-α2+α正弦sinα-sinα-sinαsinαcosαcosα余弦cosα-cosαcosα-cosαsinα-sinα正切tanαtanα-tanα-tanα状元源免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限三、三角函数的图象与性质1、周期函数（1）周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期。（2）最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。注：如果函数y=f(x)的周期是T，则函数y=f(ωx)周期是||T，而不是T。2、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域x∈Rx∈Rx∈R且,2xkkZ值域{y|-1≤y≤1}{y|-1≤y≤1}R奇偶性奇偶奇对称性对称中心（kπ,0）,k∈Z（kπ+2,0）,k∈Z（2k,0）,k∈Z状元源免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。对称轴x=kπ+2,k∈Zx=kπ,k∈Z无周期2π2ππ注：y=sinx与y=cosx的对称轴方程中的x都是它们取得最大值或最小值时相应的x，对称中心的横坐标都是它们的零点。四、函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用1、简谐运动的有关概念简谐运动图象的解析式振幅周期频率相位初相y=Asin(ωx+φ)（A0,ω0）x∈[0.+∞）AT=212fTΩx+φφ2、用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如表所示ωx+φ02π322πx2322y=Asin(ωx+φ)0A0-A0注：在上表的三行中，找五个点时，首先确定第一行的数据，即先使ωx+φ=0，2，π，32，2π然后求出x的值。3、函数y=sinx的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤状元源免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。五、两角和与差的正弦、余弦和正切公式1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式2、二倍角的正弦、余弦、正切公式.sinα=22tan21tan2,cosα=221tan21tan23、形如asinα+bcosα的化简asinα+bcosα=22absin(α+β).其中cosβ=22aab,sinβ=22bab六、简单的三角恒等变换状元源免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。1、用cosα表示sin22,cos22,tan22sin22=1cos2;cos22=1cos2;tan22=1cos1cos注：上述三组公式从左到右起到一个扩角降幂的作用；从右到左起到一个缩角升幂的作用。2、用cosα表示sin2,cos2,tan2sin2=1cos2cos2=1cos2tan2=1cos1cos3、用sinα,cosα表示tan2tan2=sin1cos1cossin【热点难点精析】一、任意角和弧度制及任意角的三角函数1、三角函数的定义※相关链接※（1）已知角α终边上上点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；（2）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的α值。注：若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨论。※例题解析※状元源免注册、免费提供中学高考复习各科试卷下载及高中学业水平测试各科资源下载状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料，更多资料请到状元源下载。〖例〗已知角α的终边落在直线3x+4y=0上，求sinα,cosα,tanα的值。思路解析：本题求α的三角函数值，依据三角函数的定义，可在角α的终边上任意一点P（4t,-3t）(