高三数学二轮复习精品课件(课标版)专题3 第9讲 等差数列与等比数列

第9讲等差数列与等比数列第9讲等差数列与等比数列主干知识整合第9讲│主干知识整合1．Sn与an的关系在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an，从而an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.2．等差数列性质如果数列{an}是公差为d的等差数列，则(1)an＝a1＋(n－1)d，Sn＝na1＋nn－12d＝na1＋an2.(2)对正整数m，n，p，q，am＋an＝ap＋aq⇔m＋n＝p＋q，am＋an＝2ap⇔m＋n＝2p.第9讲│主干知识整合3．等比数列性质如果数列{an}是公比为q的等比数列，则(1)an＝a1qn－1，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q，q≠1，na1，q＝1.(2)对正整数m，n，p，q，aman＝apaq⇔m＋n＝p＋q，aman＝a2p⇔m＋n＝2p.4．等差、等比数列Sn的性质若等差数列的前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…为等差数列；等比数列的前n项和为Sn，则在公比不等于－1时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列．5．等差、等比数列单调性等差数列的单调性由公差d的范围确定，等比数列的单调性由首项和公比的范围确定．要点热点探究第9讲│要点热点探究►探究点一等差数列的通项、求和的性质例1(1)[2011·天津卷]已知{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为()A．－110B．－90C．90D．110(2)设数列{an}是公差不为0的等差数列，a1＝2且a1，a5，a13成等比数列，则数列{an}的前n项和Sn＝()A.n24＋7n4B.n23＋5n3C.n22＋3n4D．n2＋n第9讲│要点热点探究(1)D(2)A【解析】(1)由a27＝a3·a9，d＝－2，得(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解之得a1＝20，∴S10＝10×20＋10×92(－2)＝110.(2)根据a1，a5，a13成等比数列求出公差．根据已知得(2＋4d)2＝2(2＋12d)，解得d＝12，故其前n项和只能是选项A.注意等差数列中Sn＝An2＋Bn中，A＝d2.【点评】在等差数列问题中其最基本的量是其首项和公差，在解题时根据已知条件求出这两个量，其他的问题也就随之解决了，这就是解决等差数列问题的基本方法，其中蕴含着方程思想的运用．第9讲│要点热点探究(1)在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝()A．12B．14C．16D．18(2)[2011·江西卷]设{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝()A．18B．20C．22D．24(3)[2011·广东卷]等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若a1＝1，ak＋a4＝0，则k＝________.第9讲│要点热点探究(1)D(2)B(3)10【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，由a2＝2，a3＝4，得a1＋d＝2，a1＋2d＝4，解得a1＝0，d＝2，∴a10＝a1＋(10－1)×d＝9d＝18.故选D.(2)由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，∴a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)(－2)＝20.故选B.(3)由S9＝S4，所以a5＋a6＋a7＋a8＋a9＝0，即5a7＝0，所以a7＝0，由a7＝a1＋6d得d＝－16，又ak＋a4＝0，即a1＋(k－1)－16＋a1＋3×－16＝0，即(k－1)×－16＝－32，所以k－1＝9，所以k＝10.第9讲│要点热点探究►探究点二等比数列的通项、求和的性质例2(1)已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)且a2＋a4＋a6＝9，则log13(a5＋a7＋a9)的值是()A．－5B．－15C．5D.15(2)已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a1·a2·…·a9＝________.【分析】(1)根据数列满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)且a2＋a4＋a6＝9可以确定数列{an}是公比等于3的等比数列，再根据等比数列的通项公式即可通过a2＋a4＋a6＝9求出a5＋a7＋a9的值．(2)根据等比中项求解．第9讲│要点热点探究(1)A(2)2502【解析】由log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，得an＋1＝3an，所以数列{an}是公比等于3的等比数列，a5＋a7＋a9＝(a2＋a4＋a6)×33＝35，所以log13(a5＋a7＋a9)＝－log335＝－5.(2)由等比数列的性质知a1a2a3＝(a1a3)·a2＝a32＝5，a7a8a9＝(a7a9)·a8＝a38＝10，所以a2a8＝5013，所以a1·a2·…·a9＝a95＝(a2a8)9＝2502.【点评】等比数列中有关系式anam＝qn－m(m，n∈N*)，其中q为公比，这个关系式可以看做推广的等比数列的通项公式，即an＝amqn－m(m，n∈N*)，当m＝1时就是等比数列的通项公式．第9讲│要点热点探究(1)[2011·北京卷]在等比数列{an}中，若a1＝12，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.(2)已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足fxgx＝ax，且f′(x)g(x)f(x)g′(x)，f1g1＋f－1g－1＝52，若有穷数列fngn(n∈N*)的前n项和等于3132，则n等于()A．4B．5C．6D．7第9讲│要点热点探究(1)－22n－1－12(2)B【解析】(1)由a4＝a1q3＝12q3＝－4，可得q＝－2；因此，数列{|an|}是首项为12，公比为2的等比数列，所以|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝121－2n1－2＝2n－1－12.(2)设h(x)＝fxgx，则h′(x)＝f′xgx－fxg′xg2x0，故函数h(x)为减函数，所以0a1.再根据f1g1＋f－1g－1＝52，得a＋1a＝52，解得a＝2(舍去)或a＝12.fngn＝12n，数列fngn的前n项和是121－12n1－12＝1－12n.由于1－12n＝3132，所以n＝5.第9讲│要点热点探究►探究点三等差、等比数列的综合问题例3[2011·湖北卷]成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列Sn＋54是等比数列．【分析】(1)由条件可以先求得数列{bn}的第三项，进而借助等比数列的通项公式求出bn，(2)充分结合等比数列的定义不难证明．第9讲│要点热点探究【解答】(1)设成等差数列的三个正数分别为a－d，a，a＋d.依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15.解得a＝5.所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d.依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得d＝2或d＝－13(舍去)．故{bn}的第3项为5，公比为2.由b3＝b1·22，即5＝b1·22，解得b1＝54.所以{bn}是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为bn＝54·2n－1＝5·2n－3.(2)证明：由(1)得数列{bn}的前n项和Sn＝541－2n1－2＝5·2n－2－54，即Sn＋54＝5·2n－2.所以S1＋54＝52，Sn＋1＋54Sn＋54＝5·2n－15·2n－2＝2.因此Sn＋54是以52为首项，公比为2的等比数列．第9讲│要点热点探究第9讲│要点热点探究设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝a，an＋1＝2Sn－2n，n∈N*.(1)设bn＝Sn－2n，求数列{bn}的通项公式；(2)若an＋1≤an，n∈N*，求a的取值范围．第9讲│要点热点探究【解答】(1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝2Sn－2n，即Sn＋1＝3Sn－2n.由此得Sn＋1－2n＋1＝3(Sn－2n)．即bn＋1＝3bn，又b1＝S1－2＝a－2，当a≠2时数列{bn}是以a－2为首项，3为公比的等比数列，则bn＝(a－2)·3n－1；当a＝2时，bn＝0.综上所述，数列{bn}的通项公式为bn＝(a－2)·3n－1，n∈(N*)．①(2)由①知Sn＝(a－2)3n－1＋2n(n∈N*)．于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(a－2)3n－1＋2n－[(a－2)3n－2＋2n－1]＝2(a－2)3n－2＋2n－1，an＋1－an＝2(a－2)3n－1＋2n－[2(a－2)3n－2＋2n－1]＝4(a－2)3n－2＋2n－1＝4·3n－2a－2＋1223n－2.当n≥2时，an＋1≤an⇔(a－2)＋1223n－2≤0⇔a≤2－1223n－2⇔a≤32；又n＝1时，a2≤a1⇔2a－2≤a⇔a≤2.所以∀n∈N*，a的取值范围是－∞，32.第9讲│规律技巧提炼1．在根据数列的通项an与前n项和Sn的关系求解数列的通项公式时，要考虑两个方面，一是根据Sn＋1－Sn＝an＋1把数列中的和转化为数列的通项之间的关系，先求an再求Sn；二是根据an＋1＝Sn＋1－Sn把数列中的通项转化为和的关系，先求Sn再求an.注意分n＝1，n≥2两种情况求出结果后，判断能否整合为同一通项公式．2．判断数列{an}是否是等差数列的方法有：(1)根据等差数列的定义，即证明an＋1－an＝d(常数)；(2)证明an＋1＝an＋an＋22；(3)证明其通项公式是关于n的一次函数(这样的等差数列公差不等于零)等．判断数列{an}为等比数列的基本方法是定义．3．三个数a，b，c成等差数列的充要条件是b＝a＋c2，但三个数a，b，c成等比数列的必要条件是b2＝ac.规律技巧提炼第9讲│教师备用例题教师备用例题备选理由：例1可以进一步强化基本量思想方法，等差数列、等比数列求和，其中第二问后半部分不等式的证明方法较多，可以开阔学生思路；例2命题新颖，第二问数列求和可以训练学生把数列问题分n为奇数和偶数进行处理的思想意识，也可以作为训练错位相减后求和的例子；例3是一个二阶线性递推数列问题，虽然高考对递推数列要求很低，但把这类问题以两类基本数列的形式呈现，还是有较大的可能出现在高考中的．第9讲│教师备用例题例1[2011·浙江卷]已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1为a(a∈R)．设数列的前n项和为Sn，且1a1，1a2，1a4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式及Sn；(2)记An＝1S1＋1S2＋1S3＋…＋1Sn，Bn＝1a1＋1a2＋1a22＋…＋1a2n－1.当n≥2时，试比较An与Bn的大小．第9讲│教师备用例题【解答】(1)设等差数列{an}的公差为d，由1a22＝1a1·1a4，得(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)．因为d≠0，所以d＝a1＝a，所以an＝na，Sn＝ann＋12.(2)因为1Sn＝2a1n－1n＋1，所以An＝1S1＋1S2＋1S3＋…＋1Sn＝2a1－1n＋1.因为a2n－1＝2n－1a，所以Bn＝1a1＋1a2＋1a22＋…＋1a2n－1＝1a·1－12n1－122a1－12n.当n≥2时，2n＝C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＞n＋1，即1－1n＋1＜1－12n，所以，当a＞0时，An＜Bn；当a＜0时，An＞Bn.第9讲│教师备用例题例2[2011·山东卷]等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不