新北师大版_八年级下册数学_第一章_三角形的证明_1.2.1_直角三角形

1.2.1直角三角形如图，在高为２米，坡角为30°的楼梯表面铺毯，地毯长度约为多米？30°２米老师提示:对于含300角的直角三角形边之间,角之间的关系要作为常识去认可.学习目标1．经历探索、猜测、证明的过程，了解勾股定理及其逆定理的证明方法，发展学生初步的演绎推理能力。2．结合具体例子了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆命题、互逆定理，知道原命题成立其逆命题不一定成立。复习提问：1、直角三角形的角有哪些性质？一般性质：直角三角形的角具有一般三角形的所有性质.特殊性质：直角三角形两锐角互余.2、直角三角形的边有哪些性质？一般性质：直角三角形的边具有一般三角形的所有性质.特殊性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理cabcabcabcab∵(a+b)2=c2+4•ab/2a2+2ab+b2=c2+2ab∴a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为；也可以表示为(a+b)2c2+4•ab/2cacacbca∵c2=4•ab/2+(b-a)2c2=2ab+b2-2ab+a2c2=a2+b2∴a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为；也可以表示为c24•ab/2+(b-a)2aabcc22222122122121221221212122212212221211)2())((cbacababbasscabcababsabbababababasbacbac已知：如图（1），在△ABC中，AB2+AC2=BC2.求证：△ABC是直角三角形.ABC图（1）勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形.ABC图（1）A′B′C′图（2）证明：作Rt△A′B′C′，使∠A′=90°,A′B′=AB,A′C′=AC（如图（2））,则A′B′2+A′C′2=B′C′2（勾股定理）.∵AB2+AC2=BC2,A′B′=AB,A′C′=AC,∴BC2=B′C′2.∴BC=B′C′.∴△ABC≌△A′B′C′(SSS).∴∠A==∠A′=90°(全等三角形的对应角相等).因此，△ABC是直角三角形.几何的三种语言回顾反思1′驶向胜利的彼岸勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形.这是判定直角三角形的根据之一.在△ABC中∵AC2+BC2=AB2(已知),∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形).acbABC(1)及时练：1、一个三角形的三边之比为∶∶,这个三角形的形状是()2、已知：线段a∶b∶c的值如下，则能够组成直角三角形的是（）(A)3∶4∶6(B)5∶12∶13(C)1∶2∶4(4)1∶3∶5253习题1.4独立作业21.在△ABC中，已知，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm，求证：AB=ACDBAC定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。命题:如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三形是直角三角形。两个命题的条件和结论有什么样的关系？在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆命题.你能写出命题“如果两个有理数相等,那么它们的平方相等”的逆命题吗?它们都是真命题吗?逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等.原命题是真命题，逆命题是假命题.巩固练习：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果ab=0，那么a=0,b=0.提问：一个命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？定理与逆定理一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.你还能举出一些例子吗?想一想:互逆命题与互逆定理有何关系?如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.判断正误：（1）互逆命题一定是互逆定理；（2）互逆定理一定是互逆命题.我们已经学习了一些互逆定理，如勾股定理及其逆定理、“两直线平行，内错角相等与“内错角相等，两直线平行”等.请你再举出一些互逆定理的例子.随堂练习1.说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：（1）.四边形是多边形；（2）.两直线平行，同旁内角互补；（3）.如果ab=0，那么a=0，b=0；巩固练习：1、写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：baba，那么如果22)1((2)矩形是正方形；(3)如果x2﹥0，那么x﹥0;(4)直角都相等.2、在△ABC中，已知AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm.求证：AB=AC.知识拓展已知：△ABC中，∠C=600，AB=14，AC=10，AD是BC边上的高，求BC的长BCAD解后反思：在直角三角形中，利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用，在有直角三角形时，可直接应用，在没有直角三角形时，常作垂线构造直角三角形，为能应用勾股定理创造条件。习题1.4独立作业33.如图,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲从正四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧面到点C1处吃食物,那么它需要爬行的最短路径是多少？老师提示:对于空间图形需要动手操作,将其转化为平面图形来解决.BCAB1C1D1A1DBAB1D1A1DC1CCABDE已知：在△ABC中，∠C=900，AD是BC边上的中线，DE⊥AB，垂足为E，求证：AC2=AE2-BE2解后反思证明线段的平方和或差，常常考虑运用勾股定理，若无直角三角形，可通过作垂线构造直角三角形，以便运用勾股定理。梦想成真试一试P1421.如图(单位：英尺),在一个长方体的房间里,一只蜘蛛在一面墙的正中间离天花板1英尺的A处,苍蝇则在对面墙的正中间离地板1英尺的B处.试问:蜘蛛为了捕获苍蝇,需要爬行的最短距离是多少?●AB●301212小结:请同学们用自己的语言小结本节课所学知识.提高练习：ABCD1、如图，在四边形ABCD中，AB=2,BC=,CD=5,DA=4,∠B=90°求四边形ABCD的面积.2、在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则BC∶AC∶AB=则△ABC是三角形.03018602.32cbbaABC的三边满足关系式如果5