随机过程课程设计

随机过程课程设计I课程名称：《随机过程》课程设计（论文）题目:应用马尔科夫链的平稳分布预测空调市场的占有率学院：理学院专业：数学与应用数学班级：15-1学生姓名：邹光睿学生学号：2015028219指导教师：蔡吉花2017年12月20日随机过程课程设计II目录任务书…………………………….………….….……..……….....I摘要........................................................................................................Ⅱ1马尔科夫链遍历性与平稳分布基本原理........................................11.1马尔科夫链的概念.....................................................................11.2转移概率的概念.........................................................................11.3满足遍历性的条件.....................................................................21.4平稳分布的条件与算法.............................................................21.5应用马尔科夫链研究市场占有率预测的必要前提.................22市场占有率问题的分析....................................................................32.1建立模型.....................................................................................32.2提出问题.....................................................................................42.3分析问题.....................................................................................43计算机结果及程序............................................................................5结论........................................................................................................10参考文献................................................................................................10附录.........................................................................................................11评阅书....................................................................................................13随机过程课程设计III《随机过程》课程设计任务书姓名邹光睿学号2015028219指导教师蔡吉花设计题目应用马尔科夫链的平稳分布预测空调市场的占有率理论要点通过马尔科夫链的无后效性和遍历性以及马尔科夫链的平稳分布，对稳定市场的同类竞争产品的市场占有率进行统计和分析，对平稳的市场的市场占有率进行预测。设计目标用实例求马尔科夫链的状态转移概率，用数学软件判别遍历性，解方程求得平稳分布。并对结果进行分析。研究方法步骤1.对马尔科夫链的遍历性和平稳分布进行研究2.找到市场占有率的例子并分析3.对数据进行分析和计算，预测未来的市场占有率判断马尔科夫的平稳分布是否对市场占有率有一定的作用预期结果同类商品的市场占有率符合马尔科夫的平稳分布，利用马尔科夫的平稳分布可以预测市场占有率计划与进步的安排1-2天：仔细阅读设计要求，并查询有关资料的文献；3天：对找到的资料和数据进行整理和记录；4-5天：建立模型，对有关数据进行处理和分析，写设计论文；6天：对论文进行修改和补充参考资料[1]蔡吉花.随机过程[M].东北林业大学出版社.[2]张善文,雷英杰,冯有前.MATLAB在分析中的应用[M].西安:西安电子科技大学出版社,2007,4:77-149.[3]田铮,秦超英.随机过程与应用[M].北京科学出版社2007版社2007.[4]查秀芳.马尔科夫链在市场预测中的作用[J].江苏大学学报（社会科学版）.填写时间2017年12月20日随机过程课程设计IV摘要通过对市场现象的大量观察，人们发现：同类商品的市场占有率分布是一个随时间不断变化的随机过程，并且当期市场占有率只与前一期的市场占有率有关，而与再远期的市场占有率关联甚微。市场占有率的这一特性与马尔科夫性相吻合。它具有无后效性,即事物的将来呈什么状态、取什么值,仅与它现在的状态和取值有关,与它以前的状态和取值无关。在预测领域,人们用其对预测对象各个状态的初始分布和各状态间的转移概率进行研究,描述状态的变化趋势,并由此来预测未来。基于此，本文将对马尔科夫链预测市场占有率模型进行研究和分析，包括根据市场调查结果求出初始市场占有率，根据销售流量的统计算出一步转移概率矩阵及n步转移概率矩阵，判断该马氏链是否是具有遍历性，并求出其平稳分布，从而预测同类商品不同品牌的市场占有率。关键词：市场占有率，马尔科夫链，转移概率矩阵，平稳分布随机过程课程设计1第1章马尔科夫链遍历性与平稳分布基本原理1.1马尔科夫链的概念1.马尔可夫链，因安德烈·马尔可夫（A.Markov，1856－1922）得名，是指数学中具有马尔可夫性质的离散事件随机过程。该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当前以前的历史状态）对于预测将来（即当前以后的未来状态）是无关的。2.马尔可夫链（MarkovChain），描述了一种状态序列，其每个状态值取决于前面有限个状态。马尔可夫链是具有马尔可夫性质的随机变量的一个数列。这些变量的范围，即它们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而nX的值则是在时间n的状态。如果1nX对于过去状态的条件概率分布仅是nX的一个函数，满足：nnnnnnnniXiXPiX,iX,iXiXP11110011则称{TnXn,}为离散时间的马尔科夫链。1.2转移概率概念1.一步转移概率：称条件概率iXjXPnpnnij1)(为马尔科夫链在n时刻的一步转移概率，其中i，jI，简称转移概率。2.一步转移概率矩阵：设P表示一步转移概率矩阵ijp所组成的矩阵，且状态空间I={1，2，…}，则nnppppP221111，称为系统状态的一步转移概率矩阵，它具有性质：（1）Ij,i,pij0;（2）IjijIiP.,13.n步转移概率：称条件概率1,0,,,nmIjiiXjXPpmnmij为马尔科夫链的n步转移概率，并称)()()(nijnpP为马尔科夫链TnXn,的n步转移概率矩阵，其中，）（1,0nij)(Ijnijp即)(nP也是一个随即矩阵。n步转移矩阵是一步转移矩阵的n次幂，即nnPP)(。随机过程课程设计21.3满足遍历性的条件1.定义：有限马氏链{nX，n=0,1,…}的状态空间为I,若对一切i，jI,存在不依赖于i的极限jnijnp)(lim，则称马尔科夫链具有遍历性。2.马尔科夫链遍历性的充分条件：（1）有马氏链，，若kN，使i，jI都有)(kijp0，则此马氏链遍历。（2）有限遍历链nX，对I={1，2，…,s},对jI,)(limnjnp=j（3）有限遍历链nX，I={1，2，…,s},对jI,j=ijsiip1=p（4）如果j为非周期的正常返（即遍历态），则有)(limnijnp=ijif1。1.4平稳分布的条件与算法1.定义:设马尔科夫链{nX，n0}的转移概率矩阵P=（ijp），如果非负数据{j}满足：（1）Ijj=1；（2）j=Iiijip，jI则称{i，jI}为平稳分布。2.算法：平稳分布计算归结为求解线性方程组=P(TP-E)T=0Ijj=1[1…1]T=1TTTEP11=TTTDB10=bL=11,b=10,B=LP,D=OE在matlab中,Ax=b的求解命令：rref（Ab）1.5应用马尔科夫链研究市场占有率预测的必要前提1.市场占有率随机过程必须符合马尔科夫性，将来t+1时刻市场占有率仅依赖于第t时刻的市场占有率的分布，与过去时刻t-2,t-2，…的市场占有率的分布及转移状态无关。2.马尔科夫链理论是以固定的转移概率矩阵为根本规律和特征。应用马尔科夫链模型，市场占有率也要求转移概率矩阵具有相对稳定性。对于一个比较稳定的市场，在短期内可以认为市场占有率的转移概率矩阵是相对稳定的。随机过程课程设计3第2章市场占有率问题的分析2.1建立模型：根据有关数据统计，依据随机变量市场占有率数据，对数据进行适当划分，可以得到初始占有率分布P（0）计算得转移概率ijp，通过iXjXPPIij0,可以得到P=ijp，（i，jI），然后计算mnnnnnnmpppppppppP212222111211，得到m阶转移矩阵，即m个周期后的市场占有率转移矩阵，m个周期后的市场占有率分布为P(m)=P（0）mP如果市场流趋向长期稳定下去，则经过一段时间市场占有率将会出现稳定的平衡状态，即顾客的流动，不会影响市场占有率，而且这种占有率与初始分布无关。按照实际意义，可以近似的看成最终市场占有率，并且得出计算式：121nP一般n个状态后的稳定市场占有率（稳定概率）n21,可通过解方程求得：niinnnnnnnnnnppppppppp1221122221122122111111随机过程课程设计42.2提出问题：下表（表3-1）表示2011年11月各品牌空调大城市市场占有率表3-1品牌名称市场占有率（%）海尔33.5容声22.8新飞10.5美菱8.8其他品牌24.4注：资料来源于赛诺市场研究公司（SINO-MR）对全国35个大城市106家大型商场的流行检测表3-12011年11月各空调市场占有率2.3分析问题：空调品牌在将来一年的市场占有率仅依赖于今年的市场占有率的分布，与过去几年的市场占有率的分布及转移状态无关。如果顾客流在近几年内不会改变，则转移概率矩阵近几年内也不会改变，所以可以认为该市场是一个比较稳定的市场，在短期内可以认为市场占有率是相对稳定的，转移概率矩阵反映了各品牌的消费群体的流动情况。因此，通过对转移概率矩阵的分析，可以帮助企业确定行动方案。设I={1,2,3，4}，状态1,2,3,4分别表示海尔，容声，新飞，和其他品牌。统计其2011年11月份购买和12月份欲代销和订购的空调的转移量如下表3-212月11月海尔容声新飞