2015届高考数学(理)基础知识总复习精讲课件：第10章 第3节 排列与组合(二)

高考总复习•数学（理科）第三节排列与组合(二)第十章高考总复习•数学（理科）用定义法求组合数【例1】(1)方程x＋y＋z＝9共有n组正整数解，则n等于_____________．(2)10名战士站成一排，从中任选3个互不相邻的战士去执行一项任务，则不同的选派方法的种数是_____________．高考总复习•数学（理科）解析：(1)将9个1摆成一个横排，在除两端外侧的8个空当中放上两个“＋”号，将9个1分成三组，左、中、右三组中1的个数，分别为x，y，z的值，所以共有C＝28组解．(2)问题可理解为：7个人站在一排，现有3人插队，但不相邻，共有多少种选位方法？每选三个位置算1种选法．因为7人前后共有8个空当，所以共有C＝56种不同的选法．答案：(1)28(2)562838点评：组合数计数对应的元素不考虑其在位置上的顺序，解决有关组合数计数问题时，关键是理解所取的元素在分配中没有顺序或只有一种顺序．高考总复习•数学（理科）变式探究1．(1)甲、乙两队各派5人按事先排定的顺序进行围棋擂台赛，当一方5人全部负于对方时算一种比赛结果，则甲方获胜的比赛结果共有________种可能．(2)从2,3，…，8七个自然数中任取三个数组成有序数组a，b，c，且a＜b＜c，则不同的数组有________．高考总复习•数学（理科）解析：(1)一方获胜至少要下5盘棋，至多要下9盘棋，问题可理解为：在9盘对局中，甲方有且只有5盘对局获胜，则甲方获得比赛胜利，所以共有C＝126种可能．(2)不同的数组有C＝35组．答案：(1)126(2)355937高考总复习•数学（理科）结合两个计数原理求组合数【例2】学校资料室有相同的物理书3本，历史书2本，数学书4本，分别借给4个理科学生和3个文科学生，每人限借与本学科相关的书1本，求共有多少种不同的借法？高考总复习•数学（理科）解析：依据题意，至少有1个文科学生和1个理科学生借数学，分为三大类：①仅有1个文科学生借数学，则对另外3本数学书可能只有1个理科学生借，也可能有2个理科学生借，还可能有3个理科学生借，所以共有C13(C14＋C24＋C34)种方法；②有2个文科学生借数学，则对另外2本数学书可能只有1个理科学生借，也可能有2个理科学生借，所以共有C23(C14＋C24)种方法；③3个文科学生都借数学，另一本数学借给1个理科学生，有C14种方法．由分类计数原理，共有C13(C14＋C24＋C34)＋C23(C14＋C24)＋C14＝76种．高考总复习•数学（理科）点评：实际问题中的计数问题一般都可以由两个计数原理来求出．在每类或每步计数中，如果能用组合数公式计数就直接按组合数公式计算．高考总复习•数学（理科）变式探究2．四位数“2012”含有数字0,1,2，且有两个数字2.则含有数字0,1,2，且有两个相同数字的四位数的个数为()A．18B．24C．27D．36高考总复习•数学（理科）解析：依题意，就所含的两个相同数字是否为0进行分类计数：第一类，所含的两个相同数字是0，则满足题意的四位数的个数为＝6；第二类，所含的两个相同数字不是0，则满足题意的四位数的个数为＝18.由分类加法计数原理得，满足题意的四位数的个数为6＋18＝24，选B.答案：BC23A22C12·C13·C13高考总复习•数学（理科）用间接法求组合数【例3】平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线．(1)用这9个点可以确定多少条直线？(2)用这9个点可以确定多少个三角形？(3)用这9个点可以确定多少个四边形？高考总复习•数学（理科）解析：(1)确定一条直线需要两个点，因为有4个点共线，所以这9个点所确定直线的条数为(2)确定一个三角形需要三个不共线的点，所以这9个点确定三角形的个数为(3)确定一个四边形需要四个不共线的点，所以这9个点确定四边形的个数为点评：当一个组合数的分类较多，或正面求解较复杂时，可用从反面考虑，在整体中把不符合的组合数去掉得到满足条件的组合数．C29－C24＋1＝31.C39－C34＝80.C49－C15C34－C44＝105.高考总复习•数学（理科）变式探究3．从4名男生和5名女生中任选5人参加数学课外小组．(1)选2名男生和3名女生，且女生甲必须入选的方法数为________；(2)最多选4名女生，且男生甲和女生乙不同时入选的方法数为________．高考总复习•数学（理科）解析：(1)(法一)先从4名男生中选2人，有C24种选法，再从除甲外的4名女生中选2人，有C24种选法．由分步计数原理，共有C24C24＝36种．(法二)从4名男生中选2名，从5名女生中选3名，共C24C35种选法，其中女生甲不入选的方法有C24C34种．所以共有C24C35－C24C34＝36种．(2)从9人中任选5人的选法有C59种．其中5名女生都入选的选法有C55种，男生甲和女生乙同时入选的选法有C37种．所以符合条件的选法共有C59－C55－C37＝90种．答案：(1)36(2)90高考总复习•数学（理科）排列组合应用题【例4】按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；高考总复习•数学（理科）(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．思路点拨：这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．解析：(1)无序不均匀分组问题．先选1本有C16种选法；再从余下的5本中选2本有C25种选法；最后余下3本全选有C33种方法．故共有C16C25C33＝60种．高考总复习•数学（理科）(2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题基础上，还应考虑再分配，共有C16C25C33A33＝360种．(3)无序均匀分组问题．先分三步，则应是C26C24C22种方法，但是这里出现了重复．不妨记6本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共A33种情况，而这A33种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有C26C24C22A33＝15种．高考总复习•数学（理科）(4)有序均匀分组问题．在第(3)题基础上再分配给3个人，共有分配方式C26C24C22A33·A33＝C26C24C22＝90种．(5)无序部分均匀分组问题．共有C46C12C11A22＝15种．(6)有序部分均匀分组问题．在第(5)题基础上再分配给3个人，共有分配方式C46C12C11A22·A33＝90种．(7)直接分配问题．甲选1本有C16种方法，乙从余下5本中选1本有C15种方法，余下4本留给丙有C44种方法．共有C16C15C44＝30种．高考总复习•数学（理科）点评：均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型．解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组．无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数；还要充分考虑到是否与顺序有关，有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数．高考总复习•数学（理科）变式探究4．(1)平面内有n条直线任意两条都相交，任意三条都不交于一点，则这n条直线的交点的个数为()A．n(n－1)B．(n－1)(n－2)C.nn－12D.n－1n－22(2)有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行，如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，那么不同的排法共有__________种(用数字作答)．高考总复习•数学（理科）解析：(1)这n条直线交点的个数为C2n＝nn－12.(2)取出的4张卡片所标的数字之和等于10，共有三种情况：1,1,4,4；2,2,3,3；1,2,3,4.所取卡片是1,1,4,4的共有A44种排法，所取卡片是2,2,3,3的共有A44种排法，所取卡片是1,2,3,4，则其中卡片颜色可为无红色，1张红色，2张红色，3张红色，全是红色，共有排法A44＋C14A44＋C24A44＋C34A44＋A44＝16A44种，所以共有排法18A44＝18×4×3×2×1＝432种．答案：(1)C(2)432