天津大学计算机控制系统――第9.1课计算机控制系统状态空间分析―状态方程

计算机控制系统状态空间分析——状态方程第九章主讲人：宗群教授计算机控制系统现代设计方法本章主要内容•9.1离散系统状态空间分析–9.1.1线性离散系统状态方程–9.1.2连续状态方程的离散化–9.1.3计算机控制系统的闭环离散状态方程–9.1.4离散系统的传递函数矩阵与特征值–9.1.5离散状态方程的求解–9.1.6线性离散系统的稳定性、可控性和可观性•9.2离散系统状态空间设计–9.2.1极点配置–9.2.2状态观测器计算机控制设计方法回顾计算机控制系统现代设计方法PID设计经典设计方法连续化设计离散化设计PID改进方法最小拍无差快速有波纹快速无波纹设计方法PID整定模拟的离散化最小拍改进达林算法？计算机控制系统现代设计方法9.1.1线性离散系统状态方程连续系统：现代设计方法——状态空间分析方法是分析、研究系统的有力工具，可解决多变量问题、时变问题和非线性系统，具有统一表示方法。离散系统：引入状态空间分析方法，适宜于计算机求解。概述计算机控制系统现代设计方法9.1.1线性离散系统状态方程概述输入/状态/输出连续系统：输入/输出特性微分方程/S传递函数连续状态方程差分方程/Z传递函数离散系统：离散状态方程？计算机控制系统现代设计方法主要内容1.由高阶差分方程求离散状态方程2.由Z传递函数求离散状态方程计算机控制系统现代设计方法9.1.1线性离散系统状态方程1.由高阶差分方程求离散状态方程•线性时不变离散时间系统状态矩阵输入矩阵直接转移矩阵输出向量输出矩阵状态向量)()()()()()1(kkkkkkDuCxyHuGxx+=+=+输入向量计算机控制系统现代设计方法9.1.1线性离散系统状态方程1.由高阶差分方程求离散状态方程设n阶线性定常差分方程的一般形式为(n≥m)101()(1)()()(1)()nmyknayknaykbukmbukmbuk+++−++=+++−++方程形式复杂，分两种情况转化情况1：差分方程不含输入函数的高阶差分项情况2：差分方程包含输入函数的高阶差分项选择状态变量高阶降为一阶构成向量形式形成状态方程转化思路：计算机控制系统现代设计方法9.1.1线性离散系统状态方程1.由高阶差分方程求离散状态方程【情况1】差分方程不含输入函数的高阶差分项当m=0时，差分方程的形式为:1()(1)()()nyknayknaykbuk+++−++=计算机控制系统现代设计方法9.1.1线性离散系统状态方程1.由高阶差分方程求离散状态方程若选取状态变量为121321()()()(1)(1)()(2)(1)()(1)(1)nnxkykxkykxkxkykxkxkyknxk−==+=+=+=+=+−=+12231111(1)()(1)()(1)()(1)()()()()()nnnnnxkxkxkxkxkxkxkaxkaxkbukykxk−+=+=+=+=−−−+=(1)()()()()xkAxkBukykCxk+=+=则可得到离散状态方程和输出方程分别为或计算机控制系统现代设计方法1.由高阶差分方程求离散状态方程式中x(k)是n维状态向量，A、B、C分别为n×n、n×1、1×n矩阵称为系数矩阵。表示为【例9.1】设线性定常差分方程为试写出状态方程和输出方程。1211010()000()(),001()nnnxkxkxkAxkaaa−==−−−[]0,1000BCb==(3)5(2)3(1)6()2()ykykykykuk++++++=计算机控制系统现代设计方法9.1.1线性离散系统状态方程1.由高阶差分方程求离散状态方程[]112233123(1)010()0(1)001()0()(1)635()2()()100()()xkxkxkxkukxkxkxkykxkxk++=++−−−=【解】：由已知条件知a1=5，a2=3，a3=6，b=2，得到状态方程和输出方程分别为计算机控制系统现代设计方法9.1.1线性离散系统状态方程1.由高阶差分方程求离散状态方程101()(1)()()(1)()nnyknayknaykbuknbuknbuk+++−++=+++−++1110222011333021120112211()()()nnnnnnhbabhbabahhbabahahhbabahahah−−−=−=−−=−−−=−−−−−若选取状态变量为其中1212321110(1)()()(1)()()(1)()()()()()nnnxkxkhukxkxkhukxkxkhukykxkbuk−−+=++=++=+=+【情况2】差分方程包含输入函数的高阶差分项当m=n（也适用于mn）时，差分方程的形式为计算机控制系统现代设计方法9.1.1线性离散系统状态方程1.由高阶差分方程求离散状态方程(1)()()()()()xkAxkBukykCxkDuk+=+=+[]121110010000,001100,nnnnhhABhaaahCDb−−==−−−==0111222111211nnnnnbhbahbaahhbaaaah−−=−其状态方程和输出方程可表示为式中系数矩阵A、B、C、D分别为计算机控制系统现代设计方法9.1.1线性离散系统状态方程1.由高阶差分方程求离散状态方程(1)()()()()()()()()()xkAkxkBkukykCkxkDkuk+=+=+以上针对线性定常差分方程介绍了状态方程的列写方法，由于状态变量的选择不是惟一的，因此状态方程也不是惟一的；对于线性时变差分方程也可以用上述类似的方法写出状态方程，且可以得到形式上与时不变状态方程相同的时变状态方程，只是由于时变差分方程的系数ai，bj（i=1,2,…,n；j=0,1,…,m）都是k的函数，即ai(k)，bj(k)，因此，系数矩阵A，B，C，D也都是k的函数，即A(k)，B(k)，C(k)，D(k)。于是，对于线性时变差分方程所对应的状态方程和输出方程的一般形式为：计算机控制系统现代设计方法9.1.1线性离散系统状态方程2.由Z传递函数求离散状态方程设离散系统Z传递函数的一般形式为(n≥m)1011111()()()mmmmnnnnbzbzbzbYzGzUzzazaza−−−−++++==++++四种转化方法并行程序法串行程序法直接程序法嵌套程序法计算机控制系统现代设计方法2.由Z传递函数求离散状态方程(1)并行程序法也称为部分分式法，当Z传递函数G(z)的极点已知时，将G(z)表示成部分分式和的形式，用这种方法比较简便。下面分单极点和重极点两种情况，分别举例说明这种方法求状态方程和输出方程。计算机控制系统现代设计方法2.由Z传递函数求离散状态方程状态变量选择：闭环脉冲传函系统输出(1)()()iiixkpxkuk+=−+a.单极点计算机控制系统现代设计方法2.由Z传递函数求离散状态方程【例9.2】设Z传递函数为试用并行法求状态方程和输出方程。【解】：将G(z)表示成极点形式于是，得到则对应的方块图如图9.1所示。22()21()()56YzzzGzUzzz++==++22()2114()1()5623YzzzGzUzzzzz++===+−++++14()()()()23YzUzUzUzzz=+−++计算机控制系统现代设计方法选取的状态变量为则对应的差分方程为121()()21()()3xzUzzxzUzz=+=+1122(1)2()()(1)3()()xkxkukxkxkuk+=−++=−+图9.1例9.2方块图x1(z)Y(z)U(z)x2(z)1-412z+31+z计算机控制系统现代设计方法1122(1)()201()(1)()031xkxkukxkxk+−=++−1214()()()()()4()()23YzUzUzUzxzxzUzzz=+−=−+++[]12()()14()()xkykukxk=+-对应的状态方程为由于于是得到输出方程为计算机控制系统现代设计方法2.由Z传递函数求离散状态方程闭环脉冲传函重极点的状态变量图状态变量选择：(1)()(),1,2,,iiixkpxkukinl+=−+=−111(1)()()(1)()(),2nlnnlnljnnljnljxkpxkukxkpxkxkj−+−+−+−+−+−+=−++=−+≥b.重极点计算机控制系统现代设计方法2.由Z传递函数求离散状态方程【例9.3】设Z传递函数为试用并行法求状态方程和输出方程。【解】：将G(z)表示成极点形式于是，得到则对应的方块图如图9.2所示。2()1()()(1)(2)YzGzUzzz==++2()111()()2(1)1YzGzUzzzz==+−+++2111()()()()2(1)1YzUzUzUzzzz=+−+++计算机控制系统现代设计方法选取的状态变量为12331()()21()()11()()1xzUzzxzxzzxzUzz=+=+=+x3(z)图9.2例9.3方块图x1(z)Y(z)U(z)x2(z)-112z+11z+11z+2111()()()()2(1)1YzUzUzUzzzz=+−+++计算机控制系统现代设计方法1122333()2()()()()()()()()zxzxzUzzxzxzxzzxzxzUz=−+=−+=−+112233(1)200()1(1)011()0()(1)001()1xkxkxkxkukxkxk+−+=−++−2123111()()()()2(1)1()()()YzUzUzUzzzzxzxzxz=+−+++=+−123()()()()ykxkxkxk=+−[]123()()111()()xkykxkxk=−因而有关系式对应的状态方程为由于则有或计算机控制系统现代设计方法2.由Z传递函数求离散状态方程(2)串行程序法串行程序法也叫迭代程序法，当G(z)的零极点都已知时，用这种方法比较方便。因此，在串行程序法中，应将Z传递函数G(z)表示成零极点形式。计算机控制系统现代设计方法2.由Z传递函数求离散状态方程闭环脉冲传函()()111111(1)()()()(),1,2,,iiiiiixkzpxkzpxkpxkbukin−−−+=−++−−+=状态变量图状态变量选择：计算机控制系统现代设计方法2.由Z传递函数求离散状态方程【例9.4】设Z传递函数为试用串行法求状态方程和输出方程。【解】：将G(z)表示成零极点形式于是，得到则对应的方块图如图9.3所示。22()21()()56YzzzGzUzzz++==++35/3()()()23zYzUzUzzz−+=+⋅++()35/3()1()23YzzGzUzzz−+==+⋅++计算机控制系统现代设计方法图9.3例9.4方块图x1(z)Y(z)U(z)x2(z)32z−+5/33zz++1213()()25/3()()3xzUzzzxzxzz−=++=+112220(1)()3()1(1)()333xkxkukxkxk−+−=++−−−[]12()()01()()xkykukxk=+选取的状态变量为：对应的状态方程和输出方程为：35/3()()()23zYzUzUzzz−+=+⋅++计算机控制系统现代设计方法2