《材料力学》第七章

第七章应力和应变分析强度理论基本要求:1.熟悉应力状态的概念；2.掌握用解析法和图解法计算二向应力状态下斜截面的应力、主应力及最大最小切应力；3.了解三向应力状态，会计算最大切应力；4.了解广义胡克定律；5.会应用四种强度理论进行复杂应力状态下构件的强度计算。重点：1.解析法和图解法计算二向应力状态下斜截面的应力、主应力；2.四种强度理论及其应用。难点：1.应力状态的概念；2.解析法和图解法；3.强度理论的讨论。课时：8学时§7.1应力状态概述§7.2二向和三向应力状态的实例§7.3二向应力状态分析——解析法§7.4二向应力状态分析一图解法§7.5三向应力状态§7.8广义胡克定律§7.9复杂应力状态的应变能密度§7.1O强度理论概述§7.11四种常用强度理论第十八章应力状态理论和强度理论§7.1应力状态概述一、一点处的应力状态二、原始单元体三、主单元体、主应力一、一点处的应力状态在前面讨论扭转和弯曲时，我们知道，应力在横截面上各点的分布是不相同的。因此我们有必要研究其上每一点的情况。通过受力构件内一点的应力随着所取截面方位的不同而变化。所以有必要研究过一点的所有截面上的应力情况。等直杆拉伸时，设轴向拉力为P，轴横截面的面积为A。K-K面的正应力σα和切应力τα:sin221cos2构件受力时，通过构件内任一点所作截面上的应力，随着截面的方位改变而改变。因此，为了解决构件的强度问题我们必须研究杆件受力后，通过某点不同方位截面的应力变化规律。我们称，构件受力后，通过其内某一点的各截面的在该点处的应力情况称为该点处的应力状态。横截面B-B上的应力为:AP1.判断受力构件上哪一点、沿哪个方向的应力最大？哪个点、哪个方向最危险？从而解决构件在复杂应力状态下的强度计算提供条件，解决其强度问题。2.解释变形构件的变形现象和破坏原因。3.在弹性力学、塑性力学和断裂力学等学科的研究中都要广泛用到应力状态理论。要研究一点的应力状态，通常要围绕该点截取微小正六面体——单元体。为什么要研究一点的应力状态?M二、原始单元体如在M点周围按图(c)的方式截取单元体，使其和纸面垂直的四个侧面既不与杆件轴线平行，又不与轴线垂直，均为杆件的斜截面，则四个侧面上既有正应力，又有切应力。原始单元体是指其各侧面上的应力均已知的单元体。求出原始单元体AFNsin221cossin221cos22以直杆拉伸为例，围绕M点取一单元体，则其应力如图(a)、(b）任一单元体又如矩形截面悬臂梁，在梁上边缘A、B、C点处截取单元体，其原始单元体如图：CbISFz*S应该指出：1.认为单元体各面上的应力均匀分布；2.认为单元体平行面上应力的大小和性质都是一样的，任意一对平行侧面上的应力代表着通过所研究的点与侧面平行的面上的应力。3.单元体处于平衡状态。借助于截面法和静力平衡条件，可求出单元体任何斜截面上的应力，从而确定点的应力状态，这是研究一点处应力状态的基本方法。M图FS图zIMybISFz*S三、主单元体、主应力三个主应力皆不为零时，称三向应力状态或空间应力状态；三个主应力中有二个不为零,称二向应力状态或平面应力状态；三个主应力中只有一个不为零，称单向应力状态。单向应力状态称为简单应力状态，二向应力状态和三向应力状态统称为复杂应力状态。有些情况，单元体上的各侧面都无切应力，像这种切应力等于零的面称为主平面。主平面上的正应力称为主应力。主平面的法线方向称为主方向。三对相互垂直的面都是主平面的单元体称为主单元体。通过受力构件的任意点皆可找到三个相互垂直的主平面，因而每一点都有三个主应力。通常用σ1、σ2、σ3代表该点的三个主应力，并以σ1代表代数值最大的主应力，σ3代表代数值最小的主应力，即σ1σ2σ3。§7.2二向和三向应力状态的实例一、二向应力状态的实例研究锅炉或其他圆筒形容器(薄壁圆筒)的应力状态。若封闭薄壁圆筒所受内压力为p，则沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F4DpF2（1）用横截面截取圆筒右部分为研究对象,F力作用下,计算横截面上应力σ’,属于轴向拉伸问题。4pDD4DpAF2lFN（2）用相距为l的两个横截面和包含直径的纵向平面，从圆筒中截取一部分(图7.2c)。若在筒壁的纵向截面上应力为σ”，则内力为sindDpl2plDdsinDpl02022pDllpDlFN2pDdDl2dDpl2微分面积上，压力为在y方向的投影为积分求出上述投影总和为σ’作用的截面就是直杆轴向拉伸的横截面，没有切应力。又因内压力是轴对称载荷，所以在σ”作用的纵向截面上也没有切应力。在单元体ABCD的第三个方向上，有作用于内壁的内压力p和作用于外壁的大气压力，它们都远小于σ’和σ”，可以认为等于零，这样，σ”和σ’皆为主应力。该状态为二向应力状态。由平衡方程∑Fy=0，得截出部分在纵向平面上的投影面积lD与p的乘积等于内压力的合力。二、三向应力状态的实例在滚珠与外圈的接触面上，有接触应力σ3。由于σ3的作用，单元体将向周围膨胀，于是引起周围材料对它的约束应力σ2和σ1。所取单元体的三个相互垂直的面皆为主平面，且三个主应力皆不等于零，于是得到三向应力状态。在滚珠轴承中，接触点A处(图7.3a)，以垂直和平行于压力F的平面截取单元体，如图7.3b所示。与此相似，桥式起重机大梁两端的滚动轮与轨道的接触处，火车车轮与钢轨的接触处，也都是三向应力状态。MPa4pD7510410133MPa2pD150102101330,MPa,MPa32175150例7.1由Q235钢制成的蒸汽锅炉。壁厚δ=10mm，内径D=1m(图7.2)。蒸汽压力p=3MPa。试计算锅炉壁内任意点处的三个主应力。按照关于主应力记号的规定，解：由公式(7.1)和(7.2)，得42DpFDFN0FFN4pD0,321例7.2圆球形容器(图7.4a)的壁厚为δ，内径为D，内压为p。试求容器壁内的应力。容器截面上的内力为由平衡方程由容器的对称性，包含直径的任意截面上皆无切应力，且正应力都等于由上式算出的σ(图7．4c)。与σ相比，如再省略半径方向的应力，三个主应力将是这也是一个二向应力状态。解：用包含直径的平面把容器分成两个半球，其一如图7.4b所示。半球上内压力的合力F§7.3二向应力状态分析——解析法σxτxyσyτyxτxy应力所在平面的法线方向应力的方向σx研究应力状态的方法有解析法和图解法两种。本节用解析法讨论二向应力状态下，在已知原始单元体后，如何确定过该点的其它任一截面上的应力，并确定主应力和主平面。设一原始单元体如图示，其上作用着已知的应力，x面上的正应力和切应力σx和τxy，y面上的正应力和切应力σy和τyx(τyx＝-τxy)。应力的符号规定为：正应力以拉应力为正、压应力为负；切应力对单元体内任意点的矩顺时针转向时为正；反之为负。应力所在平面的法线方向的方向，即其方向设σx、σy、τxy和τyx已知，取任意斜截面ef的方位角α0，用截面法求ef面上的正应力σα和切应力τα。一、斜截面上的应力1.假想沿截面ef把单元体分成二部分，研究三棱柱aef部分的平衡。设ef面的面积为dA，则af面和ae面的面积应分别是dAsinα和dAcosα。2．列平衡方程：0F0Ftn0sindAsin-cosdAsinsindAcos-cosdAcosdA0insdAsin-cosdAsincosdAcos-sindAcosdAyxyxxyyyxxxy＋＋22xyyxxy2y2xsin-coscos)sin-(cossin2-sincos＋2cos2-1sin2cos21cos223.根据切应力互等定理，τxy＝τyx得：4.利用三角关系sin2cos2sin2sin-2cos2-2xyyxyx2cos2sin2-xyyx简化上列二个平衡方程，最后得：可以求出方位角α为任意值的斜截面ef上的应力。2sin2cos2--2xyyxyx2cos-2sin2--xyyx-yx互相垂直的截面上正应力之和为一常数，切应力大小相等、方向相反。现在我们来看一下两个互相垂直截面上应力的关系。令β＝900＋α二、主应力0dd02cos2sin2--2dd0xy0yxyxxy0-2-tg22xy2yxyxminmax2-2计算出的σmax和σmin与0，按σ1σ2σ3排序在切应力等于零的平面上，正应力为最大值或最小值。求主应力σmax和σmin。并确定主平面的位置。满足上式的α0值必有两个α0和α0’，它们相差900，确定两个互相垂直的平面，其中一个是最大正应力所在平面，另一个是最小正应力所在的平面。求得最大及最小的正应力为：此时τα=0若α=α0时，222-0∴α0和α0’中必有一个的绝对值小于π/4∵为了判断σmax和σmin与α0和α0’的对应关系，由σα对α0求二阶导数，可得出：约定σx≥σy，则40的角度对应σmax。0dd02sin2-2cos-dd1xy1yx1＝xyyx12-tg2若α=α1时，能使导数由此得：2xy2yxminmax2-10tg21-tg2422tg20101＋＝，可以解出两个角度α1，它们相差900，从而确定两个相互垂直的平面，分别作用着最大和最小切应力。即最大和最小切应力所在平面与主平面的的夹角为450。三、最大和最小切应力求得切应力的最大和最小值是：比较α0和α1：80.075--2550-2--2-tg2yxxy0MPa89-MPa3940-75--2575-minmax222225400MPa25MPax75MPaσ3σ3σ1σ1α0例7.3单元体的应力状态如图7.6所示。试求主应力并确定主平面的方位。解：按应力的符号规则，选定σx=25MPa，σy=－75MPa，τxy=－40Mpa，2α0=38.66或218.660α0=19.33或109.330σx＞σy，α0=19.330对应σmax所在一主平面σ1＝39MPa，σ2＝0，σ3＝－89MPa例7.4讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。nnWM在圆轴的最外层M点，取出单元体ABCD，单元体各面上的应力如图所示。这时，σx=σy=0，τxy=τ2xy2yxyxminmax2-2yxxy0-2-tg2此时为纯剪切应力状态。所以2α0=-900或-2700,α0=-450或-1350解圆轴扭转时，在横截面的边缘处切应力最大，即为：τxyCABDσ3σ3σ1σ1450代人公式得：∵σx＝σy，α0=-450对应σmax，α0=－1350对应σmin。∴σ1＝σmax＝τ，σ2＝0，σ3＝σmin＝－τ圆截面铸铁试件扭转时，表面各点σmax所在的主平面联成倾角为450的螺旋面，由于铸铁抗拉强度较低，试件将沿这一螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。σx.＞σyα0=27.50对应σmax所在一主平面，α0=-62.50对应σmin所在的主平面。xσyτA