系统工程---第十、十一讲__多目标决策

第四章多目标决策分析第一节多目标决策的目标准则体系一、目标准则体系的意义在决策分析中，决策问题要达到的目的称为决策目标，用数值表示决策方案实现某个目标程度的标准和法则，称为决策准则。在多目标决策问题中，其目标或者经过逐层分解，或者依据决策主体要求和实际情况需要，形成的多层次结构的子目标系统，使得在最低一层子目标可以用单一准则进行评价，称之为目标准则体系。构造目标准则体系应注意的原则：一是系统性原则。二是可比性原则，三是可操作性原则。二、目标准则体系的结构（一）单层次目标准则体系各个目标都属于同一层次，每个目标无须分解就可以用单准则给出定量评价。图4-1单层次目标准则体系第一节多目标决策的目标准则体系（二）序列型多层次目标准则体系目标准则体系的各个目标，均可以按序列分解为若干低一层次的子目标，各子目标又可以继续分解，这样一层层按类别有序地进行分解，直到最低一层子目标可以按某个准则给出数量评价为止。（三）非序列型多层次目标准则体系某一层次的各子目标，一般不单是由相邻上一层次某子目标分解而成，各子目标也不能按序列关系分属各类。相邻两层次子目标之间，仅按自身的属性建立联系，存在联系的子目标之间用实线连结，无实线连结的子目标之间，不存在直接联系。这类目标准则体系称为非序列型多层次目标准则体系。三、评价准则和效用函数在多目标决策中，制定了目标准则体系，不同的目标用不同的评价准则衡量。因此，必须将不同度量单位的准则，化为无量纲统一的数量标度，并按特定的法则和逻辑过程进行归纳与综合，建立各可行方案之间具有可比性的数量关系。多目标决策中均可以由目标准则体系的全部结果值所确定。可行方案在每一个目标准则下，确定—个结果值，对目标准则体系，就得到一组结果值，并经过各目标准则的效用函数，得出一组效用值。这样，任何一个可行方案在总体上对决策主体的满意度，通过这些效用值按照某种法则并合而得，满意度是综合评价可行方案的依据。四、目标准则体系风险因素的处理多目标决策的风险因素，应该在目标准则体系中对涉及风险因素的各子目标分别加以处理。对存在风险因素的所有目标准则都分别作这样的技术处理。于是，风险型多目标问题就转化为确定型多目标问题。第二节多维效用并合方法一、多维效用并合模型在图4-2中，设H表示可行方案的总效用值，即满意度，表示第二层子目标的效用值，如此类推，表示倒数第二层各子目标的效用值；表示最低一层各准则的效用值。符号“·”表示按某种规则和逻辑程序进行的效用并合运算。效用并合过程从下到上，逐层进行。最低一层各准则的效用，经过并合得到12,,,ivvv12,,,k()()()iiiwauaua21()()()ipipiwauaua1()()()kisisiwauaua第三层子目标的效用并合得到第二层各目标的并合效用值12(),(),,()iilivavava最后，可行方案的满意度ia12()()()(),(1,2,,)iiiiliHHavavavaim多维效用并合的最满意方案为，其满意度a)(max)(1imiaHaHH（5-1）图4-2序列型多层次目标准则体系第二节多维效用并合方法二、多维效用并合规则在多目标决策中，根据决策目标的不同属性，效用并合采取不同方式进行。（一）距离规则二维效用并合的距离规则满足如下条件：当二效用同时达到最大值时，并合效用达到最大值；当二效用同时取最小值时，并合效用取零效用值；二效用之一达到最大值，均不能使并合效用达到最大值。二维效用平面上其余各点效用值，与该点与并合效用最大值点的距离成正比例。这种并合规则称之为距离规则。设二维效用函数，),(21uuWW])1()1[(21121),(222121uuduuW（5-2）公式(5-2)可以推广到多维情形，niinunuuuW1221)1(11),,,(（5-3）成本和效益的效用并合应该按距离规则进行，由公式（5-3）知，并合效用函数22)1()1(211),(EcEcuuuuW第二节多维效用并合方法（二）代换规则二维效用并合的代换规则适合如下情况：二效用对决策主体具有同等重要性，只要其中一个目标的效用取得最大值，无论其它效用取何值，即使取得最低水平，并合效用也达到最高水平，与二效用均达到最高水平一样。代换规则的二维效用并合公式为)1)(1(1),(2121uuuuW2121uuuu（5-4）推广到多维情形，n维效用并合的代换规则公式为(5-5))1(1),,,(121ininuuuuW（三）加法规则二维效用并合的加法规则适用于如下情况：二效用的变化具有相关性，对并合效用的贡献没有本质差异，并且可以互相线性地补偿，即一目标效用的减少可以由另一目标效用值的增加得到补偿。加法规则的二维效用并合公式为)1(,),(21221121uuuuW（5-6）加法规则的维并合效用公式为nniiinuuuuW121),,,(（5-7）第二节多维效用并合方法（四）乘法规则乘法规则适用于如下情况：二目标效用对于并合效用具有同等重要性，相互之间完全不能替代，只要其中任意一个目标效用值为0，无论另一个目标效用取值多大，并合效用值均为0。乘法法则效用并合更一般的计算公式是212121),(uuuuW乘法法则的二维效用并合公式为2121),(uuuuW（5-8）（5-9）n维效用并合乘法规则的计算公式为ininnuuuuuuuW12121),,,((5-10)更一般的计算公式为iininuuuuW121),,,(（5-11）也可以表示为对数形式iniinuuuuWln),,,(ln221（5-12）第二节多维效用并合方法（五）混合规则混合规则适用于各目标效用之间较为复杂的关系，是代换、加法和乘法三规则更为一般的情况。混合规则的二维效用并合公式2211221121),(ucucucucuuW（5-13）其中，≥－1称为形式因子。当≠0时，经过简单恒等变形，公式（5—13）可以化为较为规范的形式)1)(1(12211ucucW（5-14）混合规则的n维效用并合公式为)1(11iniiucW(5-15)三、多维效用并合方法应用实例多维效用并合方法是多目标决策的一种实用方法，在经济管理、项目评价、能源规划、人口控制等方面有着广泛的应用。这里介绍的“我国总人口目标”实例是西安交通大学系统工程研究所已完成的研究课题，引用已发表的部分资料。当今世界，人类活动与人类赖以生存的生态环境有着密切的关系，人口增长和生态环境是否相适应，人口增长和经济发展是否相协调，越来越引起世界各国的关注。社会经济的可持续发展，是我国面向2l世纪经济发展的战略任务。计划生育，控制人口增长是我国的基本国策。我国总人口目标问题，多年来一直众说纷纭，根据我国国情、经济实力、环境资源和社会发展等诸因素，科学分析我国总人口目标，关系到我国的国计民生和社会经济的长期稳定发展。应用多维效用并合方法，成功地对这个复杂的社会经济问题进行研究，科学分析了我国总人口目标方案，为我国人口政策制定提供科学的依据。第三节层次分析方法美国运筹学家T.L.Saaty于20世纪70年代提出的AHP决策分析法（AnalyticHierarchyProcess，简称AHP方法），是一种定性与定量相结合的决策分析方法。AHP决策分析法，是解决复杂的非结构化的经济决策问题的重要方法，是计量经济学的主要方法之一。（一）递阶层次模型将具有共同属性的元素归并为一组，作为结构模型的一个层次，同一层次的元素既对下一层次元素起着制约作用，同时又受到上一层次元素的制约。可以将层次分为三种类型：（1）最高层：只包含一个元素，表示决策分析的总目标，也称为总目标层。（2）中间层：包含若干层元素，表示实现总目标所涉及到的各子目标，也称为目标层。（3）最低层：表示实现各决策目标的可行方案、措施等，也称为方案层。),,2,1,(mjiaajiij（2）（二）层次元素排序的特征向量法在复杂的问题决策中，只要引入合理的度量标度，通过构造判断矩阵，就可以用这种方法来度量每个要素的相对重要性，从而为有关决策提供依据。对于社会、经济和管理等领域中的决策问题，通过建立层次结构模型，在相邻两层次之间，构造两两元素比较的判断矩阵，用特征向量法求出层次单排序，最终完成递阶层次解析过程。显然，判断矩阵的元素的＞0mmijaA)(),,2,1,(mjiija满足条件（1）～（3）的矩阵A，称为互反的一致性正矩阵。),,2,1(1miaii，（1）),,2,1,,(,/mkjiaaajkikij（3）。一、基本原理第三节层次分析方法（一）判断矩阵的构造设m个元素(方案或目标)对某一准则存在相对重要性，根据特定的标度法则，第i个元素(i＝1，2，…，m)与其它元素两两比较判断，其相对重要程度为，这样构造的m阶矩阵用以求解各元素关于某准则的优先权重，称为权重解析判断矩阵，简称判断矩阵，记作),,2,1(mjaijmmijaA)(构造判断矩阵的关键，在于设计一种特定的比较判断两元素相对重要程度的标度法则，使得任意两元素相对重要程度有一定的数量标准。沙但教授引用的1—9标度方法，其各级标度的含义如表5-2所示。标度定义含义1同样重要两元素对某属性，一元素比另一元素同样重要3稍微重要两元素对某属性，一元素比另一元素稍微重要5明显重要两元素对某属性，一元素比另一元素明显重要7强烈重要两元素对某属性，一元素比另一元素强烈重要9极端重要两元素对某属性，一元素比另一元素极端重要2、4、6、8相邻标度中值表示相邻两标度之间折中时的标度上列标度倒数反比较元素i对元素j的标度为aij，反之为1/aij表5-2各级标度的含义二、判断矩阵第三节层次分析方法（二）判断矩阵的一致性检验判断矩阵的一致性指标，记作1..maxmmIC(5-17)其中，m为判断矩阵的阶数，为判断矩阵的最大特征值。一般来说，越大，偏离一致性越大，反之，偏离一致性越小。另外，判断矩阵的阶数m越大，判断的主观因素造成的偏差越大，偏离一致性也就越大。反之，偏离一致性越小。当阶数m≤2时，=0，判断矩阵具有完全的一致性。maxIC.IC.IRICRC....一致性比率，记作用一致性比率C.R..检验判断矩阵的一致性，当C.R..越小时，判断矩阵的一致性越好。一般认为，当C.R..≤0.1时，判断矩阵符合满意的一致性标准，层次单排序的结果是可以接受的，否则，需要修正判断矩阵，直到检验通过。（1）求出一致性指标；判断矩阵的一致性检验步骤是：1..maxmmIC（2）查表得到平均随机一致性指标R.I.；（3）计算一致性比率。当C.R.≤0.1时，接受判断矩阵，否则，修改判断矩阵。IRICRC....第三节层次分析方法（一）递阶权重解析公式递阶层次结构模型如图5-11图5-11递阶层次结构模型AHP方法的目的，在于求出各方案对总目标G的优先权重，求解过程从上到下，在相邻层次之间逐层进行，故称为递阶权重解析。首先，讨论相邻两层次间的权重解析。第k层子目标关于总目标G的组合优先权重向量为TknkkkkW),,,()()(2)(1)(或者表示为分量形式),,2,1(,11)1()()(knjkjkijkinipk最后，计算方案层各方案关于总目标G的优先权重。这个优先权重记为TamaauW),,,()()(2)(1)(于是，AHP方法递阶权重解析过程的计算公式为)1()2()()()()(WPPPPWncaa（5-18）其次，用公式将递阶权重解析过程表示出来，给出方案层关于总目标G的优先权重向量。表示方案层m个方案关于准则层个准则的优先权重向量，是矩阵；)()(2)(1,,asaaPPP),,()()(2)(1)(asaaaPPPPsm三、