22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质

22.1.4二次函数的图象和性质y＝ax2＋bx＋c函数表达式开口方向增减性对称轴顶点坐标2axycaxy22hxaya0,开口向上;a0,开口向下.)0(xy直线轴)0,0()0(xy直线轴),0(chx直线)0,(hkhxay2hx直线),(kha0,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随x的增大而增大.;a0,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随x的增大而减小.一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的相同，不同形状位置y=ax2y=ax2+ky=a(x–h)2y=a(x–h)2+k上下平移左右平移上下平移左右平移y=ax2y=a(x-h)2+k左加右减上正下负当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-5t²+150t+10表示,经过多长时间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？你知道吗？今天我们继续学习：二次函数的一般形式y=ax2+bx+c（a≠0）的图象配方得：y＝x2－6x＋2121＝(x－6)2＋321由此可知，抛物线的顶点是点（6，3），对称轴是直线x＝6.y＝x2－6x＋2121新课我们已经知道，这样的函数图像和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数的图像和性质2y=ax-h+k21y=x-6x+212根据顶点式确定开口方向,对称轴,顶点坐标.x…3456789………36212xy列表:利用图像的对称性,选取适当值列表计算.…7.553.533.557.5…∵a=0,∴开口向上;对称轴:直线x=6;顶点坐标:(6,3).直接画函数的图象216212xxy21直接画函数的图象216212xxy描点、连线，画出函数图像.●●●●●●●（6,3）Ox5510216212xxy36212xy问题：1.看图像说说抛物线的增减性。2.怎样平移抛物线可以得到抛物线？216212xxy216212xxy221xy你学会了吗？研究二次函数y=ax2+bx+c的图象，关键是找到对称轴和顶点坐标。通常利用配方法把二次函数y=ax2+bx+c转化为y=a(x-h)²+k的形式，然后确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点。1用配方法求二次函数y=ax²+bx+c的对称轴和顶点坐标．cbxaxy2acxabxa2acababxabxa22222222442abacabxa.44222abacabxa函数y=ax2+bx+c的顶点式配方法：2待定系数法：设y＝ax2＋bx＋c可化为y＝a(x－h)2＋k而y＝a(x－h)2＋k＝ax2－2ahx＋ah2＋k∴－2ah＝bah2＋k＝cab2可得h＝－abac442k＝综上得y＝ax2＋bx＋c＝a(x＋)2＋ab2abac442老师提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）＝a(x＋)2＋ab2abac442因此，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝－ab2abac442顶点坐标是（－，）ab2\识记2yaxbxc图象的画法．2yaxbxc2yaxhk步骤：1．利用配方法或公式法把化为的形式。2．确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。3．在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。函数y=ax2+bx+c的顶点式.44222abacabxay），（a4b-ac4a2b-2总结：求二次函数最值，有两个方法．(1)用配方法；(2)用公式法．怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象?例2我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.1.配方:5632xxy35232xx提取二次项系数3511232xx配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方32132x整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项.2132x化简:去掉中括号相等，则形状相同。(1)a决定抛物线形状及开口方向，若a①a＞0开口向上；例3．抛物线y＝ax2＋bx＋c中a，b，c的作用。②a＜0开口向下。xya的绝对值越大，开口越小(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线2bxa③若a，b异号对称轴在y轴右侧。，故①若b＝0对称轴为y轴，②若a，b同号对称轴在y轴左侧，xyo(3)c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的位置。当x＝0时，y＝c，∴抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴有且只有一个交点(0，c)，①c＝0抛物线经过原点；②c＞0与y轴交于正半轴；③c＜0与y轴交于负半轴。xy（4）二次函数有最大或最小值由a决定。当x=时,y有最大(最小)值ab2abac442y..xy.xx能否说出它们的增减性呢？1.抛物线上关于对称轴对称的两点纵坐标相等；抛物线上纵坐标相等的两点一定关于对称轴对称。xyO2.x如果抛物线交轴于两点，那么这两点一定关于对称轴对称。12123.xxxxx2，若设抛物线上关于对称轴对称的两点横坐标为，则抛物线+的对称轴是直线2yaxbxc抛物线的对称性2byaxbxcx2a抛物线是以直线=-为对称轴的轴对称图形，有以下性质：（3）开口方向：当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。二次函数2yaxbxc的性质：（1）顶点坐标24,;24bacbaa（2）对称轴是直线2bxa课堂小结2bxa24-,4acbya最小＝2bxa24-;4acbya最大＝如果a＞0，当时，函数有最小值，如果a＜0，当时，函数有最大值，（4）最值：2bxa2bxa2bxa2bxa①若a＞0，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小。②若a＜0，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大。（5）增减性：与y轴的交点坐标为（0，c）(6)抛物线2yaxbxc与坐标轴的交点①抛物线2yaxbxc2yaxbxc12,0,,0xx12,xx20axbxc②抛物线与x轴的交点坐标为，其中为方程的两实数根与x轴的交点情况可由对应的一元二次方程2yaxbxc20axbxc(7)抛物线的根的判别式判定：①△＞0有两个交点抛物线与x轴相交；②△＝0有一个交点抛物线与x轴相切；③△＜0没有交点抛物线与x轴相离。再见二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.根据图形填表：abacab44,22abacab44,22abx2直线abx2直线abacabx44,22最小值为时当abacabx44,22最大值为时当2.不同点:(1)位置不同(2)顶点不同:分别是和(0,0).(3)对称轴不同:分别是和y轴.(4)最值不同:分别是和0.3.联系:y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移||个单位(当0时,向右平移;当0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移||个单位(当0时向上平移;当0时,向下平移)得到的.abacab44,22abx2直线ab2ab2ab2abac442abac442abac442abac442解析式变形分情况讨论变换过程y=ax2+bx+c（a、b、c都是常数，a≠0）y=a(x+)2+b2a4ac-b24a解析式＞0b2a4ac-b24a＞0＞0b2a4ac-b24a＜0＜0b2a4ac-b24a＞0＜0b2a4ac-b24a＜0由y=ax2向左平移||个单位，向上平移||个单位。4ac-b24ab2a由y=ax2向左平移||个单位，向下平移||个单位。4ac-b24ab2a由y=ax2向右平移||个单位，向上平移||个单位。4ac-b24ab2a由y=ax2向右平移||个单位，向下平移||个单位。4ac-b24ab2a顶点坐标对称轴（-，）b2a4ac-b24a都是x=-b2a都是-21二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例：1、当x=1时，2、当x=-1时，3、当x=2时，4、当x=-2时，y=a+b+cy=a-b+cy=4a+2b+cy=4a-2b+c…………………………xyo1-12练习：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如上图所示，那么下列判断正确的有（填序号）.①、abc0,③、2a+b0,④、a+b+c0,⑤、a-b+c0,⑥、4a+2b+c0,⑦、4a-2b+c0.③⑦二次函数的几种表达式：)0(2aaxy)0(2acaxy)0()(2ahxay)0()(2akhxay)0(2acbxaxy)0)()((21axxxxay)0(44)2(22aabacabxay①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、(顶点式)(一般式)(交点式)xyo例7已知二次函数212321ymxmxmm的最大值是0，求此函数的解析式．例8已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，判断以下各式的值是正值还是负值．(1)a；(2)b；(3)c；(4)2a＋b；(5)a＋b＋c；(6)a－b＋c．分析：已知的是几何关系(图形的位置、形状)，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用．解：(1)因为抛物线开口向下，所以a＜0；判断a的符号(2)因为对称轴在y轴右侧，所以02ba，而a＜0，故b＞0；判断b的符号(3)因为x＝0时，y＝c，即图象与y轴交点的坐标是(0，c)，而图中这一点在y轴正半轴，即c＞0；判断c的符号，且a＜0，所以－b＞2a，故2a＋b＜0；(5)因为顶点横坐标小于1，即12ba判断2a＋b的符号(6)因为图象上的点的横坐标为1时，点的纵坐标为正值，即a·12＋b·1＋c＞0，故a＋b＋c＞0；判断a＋b＋c的符号(7)因为图象上的点的横坐标为－1时，点的纵坐标为负值，即a(－1)2＋b(－1)＋c＜0，故a－b＋c＜0．判断a－b＋c的符号121xy轴相交于负半轴且与图象经过点的图象开口向上，二次函数y),)(,(cbxaxy.012152______cba)(c)(b)(a)()a(其中正确结论的序号是问：给出四个结论：04030201______1)4(1)3(02)2(0)1()(是其中正确结论的序号问：给出四个结论：acabaabcb92221(0)yaxbxcab、二次函数的图象如图所示，下列结论①c0,②b0③4a+2b+c0,④(a+c)其中正确的是（填序号，并说明理由）yox1x=1222222()()x1a+b+c0x1a-b+c0()()00babcabcabcabcbb(a+c)时，时，即(a+c)(a+c)-211.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例：1）、当x=1时，2）、当x=-1时，3）、当x=2时.4）、当x=-2时，y=y=y=y=6）、2a+b0.xyo1-12＞０＜０＞０＜０＞02212