一元二次含参不等式的解法

二次函数恒成立问题１、f(x)=ax+b,x[α,β]，根据函数的图象（线段）得：f(x)0恒成立＜＞f(x)0恒成立＜＞αβoxyf()0f()0f()0f()0一、一次函数型二、二次函数型（1）若二次函数2(0,)yaxbxcaxR的函数值大于0恒成立，则有a00，（2）若二次函数2(0,)yaxbxcaxR的函数值在区间[m,n]大于0恒成立，则有：①当0)(0)(0nfmfa时，②当0)(20mfmaba时，或0)(20nfnaba时，或020nabma时，若不等式2x121mx对一切2,2m都成立，求实数x的取值范围。【解析】令f(m)＝（21x）m－2x＋1，则上述问题即可转化为关于m的一次函数y()fm在区间[-2，2]内函数值小于0恒成立的问题。考察区间端点，只要(2)7131,(2)22＜0，＜＜＜0fxf解得即x的取值范围是（712，312）.典例导悟一二次含参不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？首先，必需弄清楚，它的解集与哪些因素有关。一般地，一元二次不等式的解集（以ax2+bx+c0为例）常与以下因素有关（1）a；（2）Δ；（3）两根x1,x2的大小。其中系数a影响着解集最后的形式，Δ关系到不等式对应的方程是否有解，而两根x1,x2的大小关系到解集最后的次序；其次再根据具体情况，合理分类，确保不重不漏。例1、解不等式x2+ax+40分析：本题中由于x2的系数大于0,故只需考虑后两个因素。解：∵Δ＝a2-16∴当4,4a时，Δ0，解集为R；当4a时，Δ＝0，解集为2axRxx且；当a4或a-4时,Δ0,此时两根分别为21621aax，21622aax，显然x1x2,∴不等式的解集为21621622aaxaaxx〈或例2、解不等式)0(01)1(2axaax分析：此不等式可以分解为：0)1(axax，故对应的方程必有两解。又10,所以本题只需讨论两根的大小即可。解：原不等式可化为：0)1(axax，令aa1，可得：1a∴当1a或0a1时，aa1，故原不等式的解集为axax1|；当a=1或a=-1时，aa1,可得其解集为φ；当a∈(-1,0)或a1时,aa1,解集为axax1|。例3、解不等式：mx2-2x+10分析：本题对解集的影响因素较多，若处理不当，不仅要分级讨论，而且极易漏解或重复。较好的解决方法是整体考虑，分区间讨论，方为上策。显然本题首先要讨论m与0的大小，又由Δ=4-4m=4(1-m),故又要讨论m与1的大小。我们将0与1分别标在数轴上，将区间进行划分，这样就可以保证不重不漏。例3、解不等式：mx2-2x+10解：∵Δ=4-4m=4(1-m)∴当m0时,Δ0,此时mmxmmx111121∴解集为mmxmmx1111|当m＝0时，方程为-2x+10,解集为21|xx当0m1时,Δ0，此时mmxmmx111121∴解集为mmxmmxx1111|或当m＝1时,不等式为0)1(2x∴其解集为1|xx，当m1时,此时Δ0,故其解集为R.小结：在以上的讨论中，请不要漏掉在端点的解集的情况。