2005年全国大学生数学建模大赛B题全国一等奖论文

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：南京邮电大学参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：2015年7月10日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：DVD在线租赁摘要随着信息时代的到来以及电子商务的迅猛发展，人们的生活方式发生了深刻的变革。问题一：为了求解各种DVD的最优进货量，我们运用概率论、线性规划的知识，建立线性规划模型。首先，我们根据题目中给出的问卷调查表1给出的数据，估算各种DVD的理论需求量。接着，由题目中的约束条件、目标函数，建立相应的线性规划模型。最终，运用LINGO，计算出模型最优解，得到所需求DVD的最少数量。问题二：为了实现在每个会员每次只能获得3张DVD和每种DVD数量有限的前提下，根据表2给出的会员订单数据来分配DVD,实现会员的满意度最大。由题意可知，数字越小表示会员的偏爱程度越高，但字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中，即可以认为偏好程度最低。于是我们把原始数据里的“0”，全部替换成比现有偏爱程度数值最大值还要大的数字，这样随着数值的增大，偏爱程度降低，满意程度也降低，即满意程度与表示偏爱程度的数值成反比。故只需求出表示偏爱程度的数值的和最小即可。我们随后建立0-1规划模型，运用LINGO编程求解，解决了在获得最大满意度的情况下如何去分配100种DVD。关键词0-1规划多目标规划模型满意度一、问题重述音像制品的在线租赁服务充分发挥了网络的诸多优势，其拥有传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等特点，为顾客提供更为周到的服务。考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。在求解每个问题的时候要考虑顾客满意度和成本，尽量将顾客满意度高，而且成本相对较低，解出最优解。问题一：网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，求出保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD至少准备的数量，如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD的最少准备数量。问题二:表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单。如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度。请具体列出前30位会员分别获得哪些DVD。问题三:继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理人员，如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大。问题四:如果你是网站经营管理人员，分析在DVD的需求预测、购买和分配中仍需讨论的问题，明确提出问题，并尝试建立相应的数学模型。二、基本假设（1）假设题目提供的相关数据皆是真实、可信，在没有特殊情况下测得的；（2）月租赁两次DVD的会员中，第一次租赁退回后的DVD可以被希望观看该DVD的会员于第二次租赁过程中借回；（3）每月租赁两次DVD的会员中，第一次租赁)5,4,3,2,1(iDVDi的会员人数不少于第二次租赁)5,4,3,2,1(iDVDi的会员人数；（4）历史数据显示的60%的会员每月租赁DVD两次，另外的40%租一次的比例关系在针对)5,4,3,2,1(iDVDi讨论的样本空间依然成立；（5）每种DVD的单价是一样的；三、符号约定iy1：每月只租赁一次，并且在租赁中选择了iDVD的会员人数；iy2：每月租赁两次，在第一次租赁中选择了)5,4,3,2,1(iDVDi的会员人数；iy3：每月租赁两次，在第二次租赁中选择了)5,4,3,2,1(iDVDi的会员人数；)5,4,3,2,1(ixi：)5,4,3,2,1(iDVDi所需的最优数量；iN：愿意观看iDVD的人数；ija:第i位会员对第j个DVD的偏爱程度；A：该租赁DVD网站的会员总人数；i：)5,4,3,2,1(iDVDi对应的愿意观看人数所占比例；k：该网站所要求能看到希望观看的DVD的会员百分比；（由题可得1=0.5，95.02）jD：编号为j的DVD的数量；四、问题分析题目表1给出希望看该DVD的会员人数，表2给出会员对DVD的偏爱程度，以此作为问题求解的依据，运用线性规划模型、0-1规划模型、几何加权法求解线性规划思想等数学方法，对该题进行分析。问题一：首先我们找出题目中影响DVD购进最优数量的主要因素，忽略次要因素，假设三种前提条件。进而根据表1中给出的数据，结合题目给出的约束条件，建立线性规划方程。五、模型建立与求解问题一（一）对问卷调查表一数据的处理：首先我们根据题目中给出的问卷调查表一，由概率统计的知识可以求解出这五种DVD在全部会员中愿意观看的人数。由此确定题目中提出保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD以及如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD相对应的会员人数要求。（二）对题目中的约束条件与目标函数的理解：为了简化问题，突出解决问题的关键要素，对于问题一我们做如下假设：假设（1）：每月租赁两次DVD的会员中，第一次租赁退回后的DVD可以被希望观看该DVD的会员于第二次租赁过程中借回；假设（2）：每月租赁两次DVD的会员中，第一次租赁)5,4,3,2,1(iDVDi的会员人数不少于第二次租赁)5,4,3,2,1(iDVDi的会员人数；假设（3）：历史数据显示的60%的会员每月租赁DVD两次，另外的40%租一次的比例关系在针对)5,4,3,2,1(iDVDi讨论的样本空间依然成立。在这样的假设下，每月租赁两次DVD的会员中，第一次租赁退回后的DVD可以被希望观看该DVD的会员于第二次租赁过程中借回，显然一个月是一个周期。租赁两次DVD的会员在归还iDVD后，iDVD又可以被其他没有看过iDVD的会员租赁。在租赁iDVD的会员中，每月租赁一次的会员人数iy1与每月租赁两次的会员人数（即2iy与iy3之和）比值为64。依据题目中给出的上述条件与我们做出的假设可立出线性规划方程式：iiiyyx21min123123123123460.4()0.6iiiiiiiiiiiiyyyAyyyyyyAyyA其中123,,iiiyyy均为正整数。我们以1DVD为例来考虑，租赁一次DVD的会员中选择租赁1DVD的会员人数为11y，租赁两次DVD的会员在第一次租赁中选择1DVD的会员人数为21y，租赁两次DVD的会员在第二次租赁中选择1DVD的会员人数为31y，为了使得准备的DVD数量最少，所以要使得DVD的利用率最大，显然要使得3121yy，即还回来的DVD又被全部或部分租出去。为了描述方便我们定义了iN，用来描述愿意观看iDVD的人数。于是，我们可以得到下面的式子：5112131213111213151152131100.50.246100.4()100.6yyyyyyyyyyy用LINGO软件，解得1min7000,x当且仅当11214000,3000yy的时候取到，即1DVD至少准备7000张才能保证希望看到1DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到1DVD。要求出目标函数iiiyyx21min，又1231iiiiyyyA，于是1213iiiiyyAy，要让ix取得最小，则3iy要取得最大值2iy，故23iiyy。我们可以得到其他四种DVD的情况(1)对于2DVD来说12221222512224262000,15002100.50.1yyyyyy利用Maple软件解方程，求得12222000,1500yy，因此2DVD应该至少准备3500张，才能保证希望看到2DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到2DVD。(2)对于3DVD来说13231323513234261000,7502100.50.05yyyyyy因此2DVD应该至少准备1750张，才能保证希望看到3DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到3DVD。（3)对于4DVD来说1424142451424426500,3752100.50.025yyyyyy因此2DVD应该至少准备875张，才能保证希望看到4DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到4DVD。（4)对于5DVD来说1525152551525426200,1502100.50.01yyyyyy因此5DVD应该至少准备350张，才能保证希望看到5DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到5DVD。所以要保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD，则应该准备的DVD数量如表1所示：表1：DVD编号DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意观看的人数2000010000500025001000准备的DVD数量700035001750875350同上分析，我们可以类比得出保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD条件的需准备DVD的数量关系：123223123123333460.4()0.6iiiiiiiiiiiiyyyAyyyyyyAyyA其中123,,iiiyyy均为正整数。根据上述关系式，对于1DVD我们可以得到如下关系式：11211121511214262533,19002100.950.2yyyyyy求得12222533,1900yy，因此1DVD应该至少准备4433张，才能保证希望看到1DVD的会员中至少95%在三个月内能够看到1DVD。依次类推，我们可以得到其他四种DVD的情况(1)对于2DVD来说12221222512224261267,9502100.950.1yyyyyy因此2DVD应该至少准备2217张，才能保证希望看到2DVD的会员中至少95%在三个月内能够看到2DVD。(2)对于3DVD来说1323132351323426633,4752100.950.05yyyyyy因此2DVD应该至少准备1108张，才能保证希望看到3DVD的会员中至少95%在三个月内能够看到3DVD。（3)对于4DVD来说1424142451424426317,2382100.950.025yyyyyy因此2DVD应该至少准备