相交线与平行线讲义

1本章总结本章主要讲述的知识点有相交线与平行线。其中相交线当中，两线相交，共产生两对对顶角，还引入了邻补角的概念。相交的一种特殊情况是垂直，两条直线交角成90。经过直线外一点，作直线的垂线，有且只有一条；点到直线上各点的距离中，垂线段最短。两条直线的另外一种关系是平行，平行就是指两条直线永不相交。平行线之间的距离处处相等。过直线外一点，作已知直线的平行线，有且只有一条。当同一平面内的三条直线相交时，有三种情况：一种是只有一个交点；一种是有两个交点，即两条直线平行被第三条直线所截；还有一种是三个交点，即三条直线两两相交。两条直线被第三条直线所截，产生两个交点，形成了八个角（不可分的）：同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；两条直线平行，被第三条直线所截，其同位角，内错角，同旁内角有如下关系：两直线平行，被第三条直线所截，同位角相等；两直线平行，被第三条直线所截，内错角相等两直线平行，被第三条直线所截，同旁内角互补。平行线判定定理：两条直线平行，被第三条直线所截，形成的角有如上所说的性质；那么反过来，如果两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，是否能证明这两条直线平行呢？答案是可以的。两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行：平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行如图所示，只要满足1＝2（或者3＝4；5＝7；6＝8），就可以说AB//CD平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行如图所示，只要满足6＝2（或者5＝4），就可以说AB//CD平行线判定定理3：同旁内角互补，两直线平行如图所示，只要满足5+2＝180（或者6+4＝180），就可以说AB//CD平行线判定定理4：两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行这是两直线与第三条直线相交时的一种特殊情况，由上图中1＝2＝90就可以得到。平行线判定定理5：两条直线同时平行于第三条直线，两条直线平行2知识点1.相交线同一平面中，两条直线的位置有两种情况：相交：如图所示，直线AB与直线CD相交于点O，其中以O为顶点共有4个角：1，2，3，4；邻补角：其中1和2有一条公共边，且他们的另一边互为反向延长线。像1和2这样的角我们称他们互为邻补角；对顶角：1和3有一个公共的顶点O，并且1的两边分别是3两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角；1和2互补，2和3互补，因为同角的补角相等，所以1＝3。所以，对顶角相等例题：1.如图，31＝23，求1，2，3，4的度数。2.如图，直线AB、CD、EF相交于O，且ABCD，127，则2_______，FOB__________。CEA2OB1FD垂直：垂直是相交的一种特殊情况两条直线相互垂直，其中一条叫做另一条的垂线，它们的交点叫做垂足。如图所示，图中ABCD，垂足为O。垂直的两条直线共形成四个直角，每个直角都是90。例题：如图，ABCD，垂足为O，EF经过点O，1＝26，求EOD，2，3的度数。(思考：EOD可否用途中所示的4表示？)3垂线相关的基本性质：（1）经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；（3）从直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。例题：假设你在游泳池中的P点游泳，AC是泳池的岸，如果此时你的腿抽筋了，你会选择那条路线游向岸边？为什么？*线段的垂直平分线：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。如何作下图线段的垂直平分线？2.平行线：在同一个平面内永不相交的两条直线叫做平行线。平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。如上图，直线a与直线b平行，记作a//b3.同一个平面中的三条直线关系：三条直线在一个平面中的位置关系有4中情况：有一个交点，有两个交点，有三个交点，没有交点。（1）有一个交点：三条直线相交于同一个点，如图所示，以交点为顶点形成各个角，可以用角的相关知识解决；4例题：如图，直线AB,CD,EF相交于O点，DOB是它的余角的两倍，AOE＝2DOF,且有OGOA，求EOG的度数。（2）有两个交点:（这种情况必然是两条直线平行，被第三条直线所截。）如图所示，直线AB，CD平行，被第三条直线EF所截。这三条直线形成了两个顶点，围绕两个顶点的8个角之间有三种特殊关系：*同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD的同侧，在第三条直线EF的同旁（即位置相同），这样的一对角叫做同位角；*内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的两旁（即位置交错），这样的一对角叫做内错角；*同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CD之间，在第三条直线EF的同旁，这样的一对角叫做同旁内角；指出上图中的同位角，内错角，同旁内角。两条直线平行，被第三条直线所截，其同位角，内错角，同旁内角有如下关系：两直线平行，被第三条直线所截，同位角相等；两直线平行，被第三条直线所截，内错角相等两直线平行，被第三条直线所截，同旁内角互补。如上图，指出相等的各角和互补的角。例题：1.如图，已知1＋2＝180，3＝180，求4的度数。52.如图所示，AB//CD，A＝135，E＝80。求CDE的度数。平行线判定定理：两条直线平行，被第三条直线所截，形成的角有如上所说的性质；那么反过来，如果两条直线被第三条直线所截，形成的同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，是否能证明这两条直线平行呢？答案是可以的。两条直线被第三条直线所截，以下几种情况可以判定这两条直线平行：平行线判定定理1：同位角相等，两直线平行如图所示，只要满足1＝2（或者3＝4；5＝7；6＝8），就可以说AB//CD平行线判定定理2：内错角相等，两直线平行如图所示，只要满足6＝2（或者5＝4），就可以说AB//CD平行线判定定理3：同旁内角互补，两直线平行如图所示，只要满足5+2＝180（或者6+4＝180），就可以说AB//CD平行线判定定理4：两条直线同时垂直于第三条直线，两条直线平行这是两直线与第三条直线相交时的一种特殊情况，由上图中1＝2＝90就可以得到。例题：1.已知：AB//CD，BD平分ABC，DB平分ADC，求证：DA//BCAB12DC342.已知：AF、BD、CE都为直线，B在直线AC上，E在直线DF上，且12，CD，求证：AF。DEF3124ABC6（3）有三个交点当三条直线两两相交时，共形成三个交点，12个角，这是三条直线相交的一般情况。如下图所示：你能指出其中的同位角，内错角和同旁内角吗？三个交点可以看成一个三角形的三个顶点，三个交点直线的线段可以看成是三角形的三条边。（4）没有交点：这种情况下，三条直线都平行，如下图所示：即a//b//c。这也是同一平面内三条直线位置关系的一种特殊情况。例题：如图，CD∥AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与CD有怎样的位置关系，为什么？相交线与平行线作业题一．选择题：1.如图，下面结论正确的是（）A.12和是同位角B.23和是内错角C.24和是同旁内角12347D.14和是内错角2.如图，图中同旁内角的对数是（）A.2对B.3对C.4对D.5对3.如图，能与构成同位角的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.如图，图中的内错角的对数是（）A.2对B.3对C.4对D.5对5．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30，那么这两个角是（）A.42138、B.都是10C.42138、或4210、D.以上都不对二．填空1．已知：如图，AOBO，12。求证：CODO。证明：AOBO（）AOB90（）139012（）2390CODO（）αBCD231OA82．已知：如图，COD是直线，13。求证：A、O、B三点在同一条直线上。证明：COD是一条直线（）12___________（）13（）__________3_________________________（）三．解答题1．如图，已知：AB//CD，求证：B+D+BED=360（至少用三种方法）EABCD2．已知：如图，E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于G、H，A=D，1=2，求证：B=C。2ABECFDHG13．已知：如图，123，，BACDE//，且B、C、D在一条直线上。求证：AEBD//4．已知：如图，CDACBA，DE平分CDA，BF平分CBA，且ADEAED。求证：DEFB//5．已知：如图，BAPAPD18012，。AC12O3DBAE3124BCDDFCAEB9求证：EF6．已知：如图，123456，，。求证：EDFB//FE4AG1B5362CD2．已知：如图，E、F分别是AB和CD上的点，DE、AF分别交BC于G、H，A=D，1=2，求证：B=C。2ABECFDHG13．已知：如图，123，，BACDE//，且B、C、D在一条直线上。求证：AEBD//4．已知：如图，CDACBA，DE平分CDA，BF平分CBA，且ADEAED。求证：DEFB//AB1EF2CPDAE3124BCDDFCAEB105．已知：如图，BAPAPD18012，。求证：EF6．已知：如图，123456，，。求证：EDFB//FE4AG1B5362CDAB1EF2CPD