关于广义幂等矩阵的性质的探讨正文

湖北师范学院数学与统计学院2014届学士学位论文1关于广义幂等矩阵的性质的探讨左航（导师：谢涛）（湖北师范学院数学与统计学院湖北黄石435002）1.引言在高等代数中，矩阵是代数学的一个重要研究对象，也是数学研究中不可缺少的工具。我们把满足2AA的矩阵A叫做幂等矩阵，把满足2的线性变换叫做幂等变换。文【1，2】已给出了幂等矩阵与幂等变换的性质和等价条件。本文试图通过引入k次幂等矩阵和k次幂等变换的概念，来推广幂等矩阵和幂等变换，并讨论它们的性质。同时由于可逆矩阵对处理矩阵问题的重要性，文中在可逆幂等矩阵的基础上给出可逆n阶k次幂等矩阵的定义，并总结出相关的一些性质。而且在计量经济学中对于大多数经济现象进行比较静态分析的结果，都可以合理地归结为一个线性经济模型Ax=b，其中的系数矩阵A往往是一个幂等矩阵。为此，也有必要对幂等矩阵展开理论方面的深入研究。1.幂等矩阵定义1.1任何一个满足幂等关系2AA的矩阵A称为幂等矩阵。显然，n阶零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵。关于幂等矩阵，目前已有一些结论，我们选择其中一些性质列举如下：1.1.1幂等矩阵的特征值只取0和1两个数值；1.1.2所有的幂等矩阵（单位矩阵除外）都是奇异矩阵；1.1.3所有幂等矩阵的秩与迹相等，即()()RankPTrP；1.1.4若P为幂等矩阵，则'P也为幂等矩阵；1.1.5若P为幂等矩阵，则IP也为幂等矩阵RankIPnRankP所有对称的幂等矩阵（单位矩阵除外）都是半正定的；1.1.6令nn幂等矩阵P的秩为r,则P有r个特征1和nr个特征值0；湖北师范学院数学与统计学院2014届学士学位论文21.1.7所有的幂等矩阵P都可对角化的：|000ArIUAU；1.1.8一个对称的幂等矩阵P可以表示为TPLL，其中L满足TLLI；1.1.9设有全矩阵()nnII，则1CIn是一个幂等矩阵；1.1.10若方阵B是幂等矩阵，则TB和BE也是幂等矩阵；1.1.11若n阶方阵A为幂等矩阵，则它的秩满足R(A)+R(E-A)=n。2.k次幂等变换与k次幂等矩阵定义2.1把满足(1)kAAk的矩阵A叫做k次幂等矩阵，把满足2的线性变换叫做k次幂等变换。显然，幂等矩阵(变换)必是2次幂等矩阵(变换)，对合矩阵2()AE是3次幂等矩阵，所以，k次幂等矩阵(变换)是幂等矩阵(变换)与对合矩阵(变换)的统一和推广。另外，容易验证以下命题：命题2.1设n,,,21是以n维线性空间V的基，那么，V上的任意k次幂等变换关于该基的矩阵是k次幂等矩阵。反过来，任意k次幂等矩阵都是某个k次幂等变换关于该基的矩阵。从而，k次幂等矩阵与k次幂等变换有平行的性质。定义2.2设A是k次幂等矩阵，把1kEA叫做A的k-余矩阵，记为A。把A的k-余矩阵记为A。设是k次幂等变换，把1k叫做A的k-余变换，记为。把的k-余变换记为A。之所以把叫做的余变换，我们会在定理3之后说明原因。为了论述方便，我们把本文需要的有关概念和结论陈述如下：定义2.3【3】设是线性空间V上的线性变换，把1(0){|0}V叫做的核，把)0(1的维数叫做的零度。把叫做的值域，把V的维数叫做的秩，记为)(r。定义2.4【4】设W1,是线性空间V的子空间，如果1VWW，我们称W2是W1的余子空间。引理2.1【3】设A是n级矩阵，r(A)表示A的秩，则湖北师范学院数学与统计学院2014届学士学位论文3（1）)()()(BrArBAr；（2）如果AB=0,那么。nBrA)()(r引理2.2【3,4】设n,,,21是以n维线性空间V的基，线性变换关于该基的矩阵是A，那么);()()1(ArrAV)2(的列空间；)0()3(1其次线性方程组0AX。性质定理2.1如果是V上的线性变换，那么，是k次幂等变换V)0(1。证明显然}|{V1Vk设),0(,1k有0所以。Vk1,,VV使得,1k从而,0)(1即),0(1故。V)0(1设V)0(1，V，1kk，由于湖北师范学院数学与统计学院2014届学士学位论文4),0(11Vk所以,0)(1k即,0)(k于是。k定理2.2如果是V上的线性变换，那么，是k次幂等变换V)0(1。证明设1,(0),k有,0)(1k即,1Vk所以。V)0(1反过来，,,VV使得，从而,0)())((1kk即),0(1故,)0(1V从而。V)0(1设。V)0(1),0(,1VV故,0即,0)(k有。k定理2.3如果是V上的线性变换，那么是k次幂等变换VVV。并且如果是k次幂等变换，那么有。)0()0()0()0(1111VVV证明设),(,,11kkkV由,,11VVkk故,,VVVVV有定理2.1可知，V)0(1，故,0且，使得,V从而,011kkk于是。VVV设。VVV于是,)(,)(,0kkVVVVV，故,0)(k即。0k再由定理2.1和定理2.2易得。)0()0()0()0(1111VVV定理3说明，如果是V上的k次幂等变换，那么V是V的k-余子空间【4】，)0(1是)0(1的余子空间，这正是定义4中把叫做余变换的原因。湖北师范学院数学与统计学院2014届学士学位论文5定理2.4n级矩阵A为最次幂等矩阵。nArAr)()(。平行地，n维线性空间V上的线性变换为k幂等变换。nrr)()(。证明设在基n,,,21下的矩阵为A，则在基n,,,21下的矩阵为A，则由引理2.2又知，。)()(),()(ArrArr：由定理2.3和引理2.2直接得到，。nrrArAr)()()()(：设,)()(nArAr即,)()(nrr),(,11kkV由于,,1-k1VVk故,VVV但,)()(nrr故。VVV由定理3便知，为k次幂等变换，从而A为k次幂等矩阵。定理2.5设A为k次幂等矩阵，则A的任意正整数次幂也为k次幂等矩阵。平行地，设为k次幂等变换，则的任意正整数次幂也为k次幂等变换。证明设m为任意正整数，。则AAmmkkA)(A)A(km,。定理2.6设A为k次幂等矩阵，则nErrAAkk)()(11。平行地，设为n维线性空间V上的k次幂等变换，则nrrkk)()(11。证明由定理5可知，Ak1为k幂等矩阵，故0)(2111AAAAAkkkkkE，由引理1得nErrAAkk)()(11。但显然nErErrAAkk)()()(11，所以nErrAAkk)()(11。定理2.7设A为k次幂等矩阵，则有)()(1ArrAk。证明由定理4得，nArAr)()(。由定理6得，nErrAAkk)()(11。故有)()(1ArrAk。定理8A是k次幂等矩阵。0AAAA平行地，如果是k次幂等变换0。证明设AAk，有0)(1AEkkAEAAA，同理得0AA，设0AA。即湖北师范学院数学与统计学院2014届学士学位论文60AkA，所以A是k次幂等矩阵。3.可逆n阶k次幂等矩阵的性质3.1预备知识性质3.1[5]。)();()()()()(11NAANAAnnnnTnnT定义3.1设A，BCnn，若存在可逆矩阵P，使得,1ABPP，则称A与B相似。定义3.2设ACnn，若存在最小正整数k∈N-{0，1}，使得,AAk则称A为n阶k次幂等矩阵(简称k次幂等矩阵)。若A可逆，则称A为可逆n阶k次幂等矩阵。3.2n阶k次幂等矩阵的性质性质3.2可逆n阶k次幂等矩阵的转置也是可逆n阶k次幂等矩阵。证明证明设A是k次幂等矩阵，则存在最小正整数k∈N-{0，1)，使得,AAk，则。假设存在m∈N-{0，1}且mk，有,)(AATTm则,)())((AATTTmT于是,))((AATTm即。AAm这与k的最小性发生矛盾，因此矩阵A与其转置同为k次幂等矩阵，由此可得AT也是可逆的n阶k次幂等矩阵。性质3.3可逆n阶k次幂等矩阵的)(Nll次幂是可逆n阶p(p∈N-{0，1}，p≤k)次幂等矩阵。证明设A∈C且是k次幂等矩阵，则存在最小正整数k∈N-{0，1}，使得,AAk则,)()(AAAlkllk，由最小数原理可知，一定存在P∈N-{0，1}且p≤k，使得AAllp)(。因此Al是P次幂等矩阵。又A是可逆矩阵，则|A|≠0，而||||AAll，那么0||Al，即Al是可逆P次幂等矩阵。性质3.4可逆n阶k次幂等矩阵的特征值A是k一1次单位根。证明设A是k次幂等矩阵，则存在最小正整数k∈N-{0，1}，使得,AAk。设是A的任意一个特征值，是A的属于特征值的一个特征向量，因而有湖北师范学院数学与统计学院2014届学士学位论文7≠0且,A，由于,AAk则,)(11kkkkAAAA即。AAkk因为≠O，所以k，即=0或A1k=1，因此，A的特征值为0和k-1次单位根。又根据可逆矩阵的性质可知，可逆k次幂等矩阵的特征值是k-1次单位根。性质3.5可逆k次幂等矩阵的逆仍是可逆k次幂等矩阵。证明设A是可逆k次幂等矩阵，则存在最小正整数k∈N-{0，1}，使得,AAk则有,111)()(AAAkk假设存在m∈N-{0，1}且mk，使得,11)(AAm将其两边同时取逆，有,)())((1111AAm于是,))((11AAm即,AAm。这与最小性矛盾，从而得知k为使得AAk11)(成立的最小正整数，因此A的逆是k次幂等矩阵，又A是可逆矩阵，则|A|≠0，而||1||1AA，即0||1A，因此A1也是可逆k次幂等矩阵。性质3.6可逆k次幂等矩阵的k-1次是单位矩阵。证明设A是可逆k次幂等矩阵，则存在最小正整数k∈N-{0，1}，使得,AAk又A是可逆矩阵，将其左右同乘以A1，得,11AAAAk即。EAk1因此，可逆k次幂等矩阵的k-1次是单位矩阵。性质3.7如果可逆k次幂等矩阵A与可逆l次幂等矩阵B可交换，则AB是可逆P(P∈N-{0，l}，P≤[k-1，l-1]+1)次幂等矩阵。证明由已知，知存在最小正整数k，l∈N-{0，1}分别使得。BABAlk,因为AB=BA，所以,)(BAABttt,Nt取t=[k一1，l一1](其中[a，b]表示a，b的最小公倍数)，则1,1ltkt均为正整数。令,1,1ltkt，从而,)(AAAkk。BBBll)(又A可逆，为此有。EEBAlk)1()1(,于是。ABABEABABBABAABlkttt)()()1()1(1)(根据最小数原理，一定存在