第3章-DFT及其FFT(12上)

第3章离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)DiscreteFourierTransform(DFT)andFastFourierTransform(FFT)SCHOOLOFPHYSICSANDTECHNOLOGYN.N.U.22020/7/13本章主要内容离散傅里叶变换（DFT）的定义离散傅里叶变换的主要性质频域采样DFT的快速算法——快速傅里叶变换（FFT）DFT（FFT）应用举例SCHOOLOFPHYSICSANDTECHNOLOGYN.N.U.32020/7/13存在问题：序列的傅里叶变换、Z变换是时域离散信号及系统分析与设计的重要数学工具；但变换结果均为连续函数，无法用计算机进行处理。解决之道：离散傅里叶变换（DFT）：对有限长时域离散信号的频谱进行等间隔采样，频域函数被离散化了，便于信号的计算机处理。不过DFT运算量较大，快速离散傅里叶变换（FFT）算法是解决方案。3.1离散傅里叶变换（DFT）的定义及物理意义SCHOOLOFPHYSICSANDTECHNOLOGYN.N.U.52020/7/13复习连续周期信号的傅里叶级数（FS）0()Xjn()xt---0Tt00---序列的傅里叶变换（DTFT）()xnn0()Xj()xtt00连续信号的傅里叶变换（FT）SCHOOLOFPHYSICSANDTECHNOLOGYN.N.U.62020/7/13周期序列的离散傅里叶级数（DFS）周期序列的傅里叶变换（DTFT）SCHOOLOFPHYSICSANDTECHNOLOGYN.N.U.72020/7/13有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）：210()DFT[()](),01NjknNnXkxnxnekN2101()IDFT[()](),01NjknNkxnXkXkenNN正变换（DFT）逆变换（IDFT）SCHOOLOFPHYSICSANDTECHNOLOGYN.N.U.82020/7/133.1.1DFT的定义设x(n)是一个长度为M的有限长序列，x(n)的N点离散傅里叶变换（正变换－DFT）定义为：N称为DFT变换区间长度，N点离散傅里叶逆变换（IDFT）定义为令，离散傅里叶变换与逆变换对可表示为：10()DFT[()](),01NknNnXkxnxnWkN2101()IDFT[()](),01NjknNkxnXkXkenNN21j0()DFT[()]()e,01NknNNnXkxnxnkNNM2-jNNWe101()IDFT[()](),01NknNkxnXkXkWnNNSCHOOLOFPHYSICSANDTECHNOLOGYN.N.U.92020/7/13逆变换的证明：由于于是因此离散傅里叶逆变换是唯一的。-1-01IDFT[()]()NknNkXkXkWN-11=0=01()NN-mk-knNNkmxmWWN10IDFT[()]=()()NmXkxmmn-1-1(-)001()NNkmnNmkxmWN211()(-)001,110,NNjkmnkmnNNkkmnMNMWeNNmnMNM，为整数，为整数(),01xnnNSCHOOLOFPHYSICSANDTECHNOLOGYN.N.U.102020/7/13例3.1.1分别计算序列的8点、16点DFT解:8点DFT16点DFT7880()()knnXkRnW8()()xnRn2780jknne8001,2,3,,7kk157781681616000()()()knknknnnnXkRnWRnWW281621611jkjkee8161611kkWW22281616161()1()kkkjjjjkjkjkjkjkeeeeeeee716sin2,0,1,2,,15sin16jkkekkSCHOOLOFPHYSICSANDTECHNOLOGYN.N.U.112020/7/13上图显示，是在频率区间上的等间隔采样。()Xk()jXe[0,2]()jXe()Xk()Xk()XkSCHOOLOFPHYSICSANDTECHNOLOGYN.N.U.122020/7/131.DFT与ZT、DTFT之间的关系有限长序列DFT与ZT、DTFT的关系：()0,1,2,,1,xnnMNM10()ZT[()]()()MnnnnXzxnxnzxnz22()()()()|01jkNNjkzeXkXzXkXekN,，10()DTFT[()]()()MjjnjnnnXexnxnexne1100()DFT[()]()(),01NMknknNNNnnXkxnxnWxnWkN3.1.2DFT与ZT、DTFT、DFS之间的关系有SCHOOLOFPHYSICSANDTECHNOLOGYN.N.U.132020/7/13DFT与z变换ImjZReZ1234567(N-1)2Nk=0DFT与DTFT变换序列x(n)的N点DFTX(k)是x(n)的Z变换X(z)在单位圆上的N点等间隔采样；X(k)为x(n)的离散时间傅里叶变换在区间上的N点等间隔采样。——这就是DFT的物理意义。[0,2]()jXe22()()()()|01jkNNjkzeXkXzXkXekN,，2X(ejω)X(k)k1N001SCHOOLOFPHYSICSANDTECHNOLOGYN.N.U.142020/7/13例：8()(),1()(2)()(3)()DFT[()],16jNxnRnXzXeXkxnN求：（）解：-8-11-(1)(),01-zXzzz81(2)()1jjjeXee2(3)()()NjNkXkXe716sin2,0,1,2,,15sin16jkkekk728sin21sin2jeSCHOOLOFPHYSICSANDTECHNOLOGYN.N.U.152020/7/13是在频率区间上的等间隔采样。()Xk()jXe[0,2]()jXe()Xk()Xk()XkSCHOOLOFPHYSICSANDTECHNOLOGYN.N.U.162020/7/13DFT与DFS、ZT、DTFT之间的关系（续）2.DFT与DFS之间的关系有限长序列周期序列：由以N为周期进行周期延拓而成()()NkxnxnkN001,nNm为整数00,(())NnmNnnn若则()0,1,2,1xnnM()xn当时，周期延拓也可用求余符号来表示：()(())NNxnxnNMSCHOOLOFPHYSICSANDTECHNOLOGYN.N.U.172020/7/13(),01,(),,:0,1,,1xnnNxnNnN设有限长序列将其延拓为周期序列主值区间:周期长度为则区间称间为.主值区0~1nN:在主值区间内的序列称为主值区间序列主值区间序列.()()()NNNxnxnRn,()()NNMxnxn若则即是主值区间序列()Nxn主值区间序列：()xnSCHOOLOFPHYSICSANDTECHNOLOGYN.N.U.182020/7/138()xn4()xnSCHOOLOFPHYSICSANDTECHNOLOGYN.N.U.192020/7/13周期序列的DFS有限长序列的DFT101100()DFS[()]()()()NknNNNnNMknknNNnnXkxnxnWxWnknxW1010()DFT[()0]()1()NknNNnMknNnXkxnxnWWNnkx是的主值区间序列，成立条件N≥M()Xk()Xk()(),()()()NmXkXkmNXkXkRkSCHOOLOFPHYSICSANDTECHNOLOGYN.N.U.202020/7/13DFTDFS()Xk02NNk2NN1N0n)(nx1N0k)(kX()NxnnNN2N0SCHOOLOFPHYSICSANDTECHNOLOGYN.N.U.212020/7/13DFT与DFS之间的关系:有限长序列x(n)的DFT变换X(k)，就是x(n)的周期延拓序列的DFS系数的主值区间序列()()()()(())()()()()(())NNNNNxnxnRnxnxnXkXkRkXkXNMk成立条件DFT:()()DFS:()()xnXkxnXk()xn()XkSCHOOLOFPHYSICSANDTECHNOLOGYN.N.U.222020/7/13DFS与DTFT之间的关系:周期延拓序列的频谱特性由傅里叶级数的系数确定，幅度相差一个常数因子DFT:是的主值区间序列，它表示了周期序列的频谱特性10()DFS[()]()MknNNnXkxnxnWk22()DTFT[()]()()jNkXexnXkkNN()Xk()Xk2N()XkSCHOOLOFPHYSICSANDTECHNOLOGYN.N.U.232020/7/133.1.3DFT的矩阵方程表示(0)(0)(1)(1)x,X(1)(1)xXxXxNXNX=DxN121242(1)12(1)(1)(1)111111D1NNNNNNNNNNNNNNNN10()DFT[()]()01NknNnXkxnxnkNWSCHOOLOFPHYSICSANDTECHNOLOGYN.N.U.242020/7/13DFT的矩阵方程表示（续）IDFT的矩阵表示1x=DXN12(1)242(1)1(1)2(1)(1)(1)1111111D1NNNNNNNNNNNNNNNN1*T1DDNNN101()IDFT[()]()01NknNkxnXkXkWnNNX=DxN正变换DN—正交矩阵SCHOOLOFPHYSICSANDTECHNOLOGYN.N.U.252020/7/133.1.4用MATLAB计算序列的DFTxn=[11111111];%输入时域序列向量xn=R8(n)Xk32=fft(xn,32);%计算xn的32点DFTXk64=fft(xn,64);%计算xn的64点DFT%以下为绘图部分k=0:31;wk=2*k/32;%产生32点DFT对应的采样点频率(关于π归一化值)subplot(2,2,1);stem(wk,abs(Xk32),'.');%绘制32点DFT的幅频特性图title('(a)32点DFT的幅频特性图');xlabel('ω/\pi');ylabel('幅度')subplot(2,2,3);stem(wk,angle(Xk32),'.');%绘制32点DFT的相频特性图title('(b)32点DFT的相频特性图');xlabel('ω/\pi');ylabel('相位');axis([0,2,-3.5,3.5])k=0:63;wk=2*k/64;%产生64点DFT对应的采样点频率(关于π归一化值)subplot(2,2,2);stem(wk,abs(Xk64),'.');%绘制64点DFT的幅频特性图title('(c)64点DFT的幅频特性图'