6-4-5-6节--三大分布

第6.4-6.6节统计三大分布一、常见分布二、概率分布的分位数三、小结).(~,,)1,0(,,,1.422222221221nnXXXNXXXnn记为分布的度为服从自由＝则称统计量分布相互独立，同服从设定义.:222212变量的个数中右端包含独立指自由度nXXX分布（卡方分布）2.1n=1时,其密度函数为0,00,21)(221xxexxfx2468100.20.40.60.811.2n=2时,其密度函数为0,00,21)(2xxexfx为参数为2的指数分布.2468100.10.20.30.4222121,02()()0,0xnnnexxfxx一般其中，01)(dtetxtx在x0时收敛，称为函数，具有性质)(!)1()2/1(,1)1(),()1(Nnnnxxx)(2n的密度函数为自由度为n的性质1.2)(,)(),(~2222nDnEn则若证明:),1,0(~NXi因为,1)()(2iiXDXE所以2242)]([)()(iiiXEXEXD,213.,,2,1niniiXEE122)(故niiXE12)(,nniiXDD122)(niiXD12)(.2n)(2分布的数学期望和方差分布的性质2（见教材P147）性质2).(~,,),(~),(~2122221222122221221nnnn则立独并且设)(2分布的可加性(此性质可以推广到多个随机变量的情形)).(~,),,2,1(),(~21212222mmiiiiinnnmin则独立相互并且设性质3dtexnnPxntxn2221}2{lim,),(~222有则对任意设且独立同分布因而独立且每个其中由假设和定义证明,,,,),1,0(~,,,,,1.42222121122ninniiXXXNXXXXX),,2,1(2)(,1)(22niXDXEii}2{lim2xnnPn由中心极限定理得xniindtexnnXPt2221}{lim12).2,(~).1,0(2,,222nnNNnnn近似进而近似服从很大时当也即分布分布的极限分布是正态即.)()(,,)1,0(,,,12265432221121621分布服从使得求样本的一组为来自正态总体设例XXXXCXXCYCCNXXX)1,0(~2),2,0(~2121NXXNXX则解),(~),,(~1044065436543NXXXXNXXXX则同理221XX且46543XXXX与相互独立(习题课教程P453例17)2212)(XX所以)2(~)4(226543XXXX.41,2121CC则.,)()(,),,,(,),0(2265423216212分布服从使得试决定常数的简单随机样本体为来自总服从设CYCXXXXXXYXXXXNX课堂练习(教材157页第4题)解根据正态分布的性质,),3,0(~2321NXXX),3,0(~2654NXXX),1,0(~3321NXXX则),1,0(~3654NXXX),1(~322321XXX故),1(~322654XXX,,,,2621分布的可加性相互独立及因为XXX2654232133XXXXXX])()[(31265423212XXXXXX),2(~2.,3122分布服从所以CYC.)()()()}({,10,2.422)(222分位数（分位点）分布的上为的点称满足条件对于给定的正数定义nndxxfnPn.4344,,分位点的值得上求页附表通过查可以对于不同的n)(22n分布的上侧分位数)8(2025.0)10(2975.0)25(21.0注：P344附表4只详列到n=45为止.,535.17,247.3.382.34..2)(,2分位数是标准正态分布的上其中充分大时当uunnnn例如645.12401201202120)120(05.0205.0u.5.145利用以上公式,.,452分位点的近似值分布上时可以求得n费歇尔(R.A.Fisher)证明:定理4.1)(~)(122122221nXNXXXniin则随机变量）的样本，，（是来自总体，，，设证明)(~)(1,,,2,1),1,0(~2212122221221nXXXXXniNXXNXXXniiniiniin定义得分布相互独立，根据，，，且标准化，得），所以将，（服从同分布相互独立，且都与总体，，，因为随机变量（见教材P148）用于总体均值已知时，估计或检验总体方差.44.1,)09.0,0(,,,1.410121021iiXPNXXX求的样本为来自总体设例.10,,2,1),1,0(~3.0)09.0,0(~,iNXNXXi可知则由设总体为解:由定理4.1可知1012222)10(~3.01iiX可得分布表利用,210.0}16{3.044.13.0144.121012221012PXPXPiiii（教材P148）.)2();1(~)1()1(,,,,,),,(22222212相互独立与则和别为样本均值和样本方差分中抽取样本从总体服从正态分布设总体SXnSnSXXXXXNXn定理4.2(教材149页)用于总体均值未知时，估计或检验总体方差注:),1(~2n自由度减少一个!212)(11XXVnii减少一个自由度的原因：.),2,1}({不相互独立niXXi事实上，它们受到一个条件的约束：niiXX1niiXnX1)(1niiXnX1.001例4.2).(,,),,(~222SDSnXNX求其样本方差为的样本量为抽取样本容从总体设总体解由定理4.2可知)1(~)1(222nSn.12)()()1()1()1(2)1(4224222222nSDSDnSnDnSnD所以因为分布的性质可得由(书P149)例4.3设总体X服从正态分布.),3,(2为未知参数其中N从总体X中抽取容量为16的样本,}.5.16{2SP求解:总体方差).15(~359)116(2.4.16,93222222SSn根据定理样本容量5.163535}5.16{22SPSP由此所求概率}5.27{1}5.27{22PP（教材P149-150）.975.0025.01}5.16{,025.0}5.27{488.27)15(222025.0SPP所以即查P346附表4,当自由度n=15时,有).(~,/,,),(~),1,0(~1.52ntTtnnYXTYXnYNX记为分布的服从自由度为则称随机变量独立且设定义t分布又称学生氏(Student)分布.tntnnntfn,12π21)(212分布的概率密度函数为)(nt分布t2.图分布的概率密度曲线如t.0对称的显然图形是关于t当n充分大时,其图形类似于标准正态变量概率密度的图形.,π21)(lim22tnetf因为,)1,0(分布分布近似于足够大时所以当Ntn.)1,0(,分布相差很大分布与但对于较小的Ntnt分布具有下列性质：性质1设,则当时有性质2设，是T的分布密度，则此性质说明，当时，T分布的极限分布是标准正态分布。)(tf)(~ntT2n0)(TE2)(nnTD)(~ntTn2221)(limtnetf.,,),(~),,(~1.5222的概率分布试求相互独立且设例nYXTYXnYNX得由定义独立与则独立且又所以因为解1.5,,,),(~)1,0(~),,(~2222YXYXnYNXNX)(~/)/(/)(2ntnYXnYXT（教材158页第11题）例5.2则统计量来自总体设),,0(,,,24321NXXXX?242321的分布为XXXXT)1,0(~2),2,0(~221221NXXNXX于是于是独立同分布于与),1,0(2423NXX解)2(~2224223XX)2(~2222423221tXXXXt分布的定义由)2(~242321tXXXX即).()()()()}({,10,2.5)(或分位点分位数分布的上为的点称满足条件对于给定的定义ntntdxxfnttPnt.3342分位数的值求得上页附表可以通过查由分布的对称性知).()(1ntnt)(ntt分布的上侧分位数)10(05.0t,8125.1)15(025.0t.1315.28125.1)10(95.0t.)(,untn时当45).1(~/,,,),(,,,2221ntnSXSXNXXXn则有方差分别是样本均值和样本样本的是总体设定理5.1),1,0(~/NnX因为),1(~)1(222nSn且两者独立,由t分布的定义知)1()1(/22nSnnX).1(~nt证明（书P151）用于总体方差未知时，对均值的估计或检验则有差分别是这两个样本的方值分别是这两个样本的均设且这两个样本互相独立的样本总体具有相同方差的两正态分别是与设,)(11,)(11,1,1,,),(,),(,,,,,,2121211222212121121122212121niiniiniiniinnYYnSXXnSYnYXnXNNYYYXXX定理5.2(书P152).,2)1()1(),2(~11)()(2212222112212121其中证明221221,~nnNYX因为212111)()(nnYXU所以),1,0(~N),1(~)1(122211nSn由),1(~)1(222222nSn分布的可加性知故由且它们相互独立2,2211)1(SnV2222)1(Sn),2(~212nn.,分布的定义按相互独立与由于tVU)2/(21nnVU212111)()(nnSYXw).2(~21nnt).,(~,),(//,,),(~),(~1.62121212212nnFFFnnnYnXFYXnYnX记为分布的服从自由度为则称随机变量独立且设定义分布F3.其中分别表示F分布的第一、第二自由度21,nn(书P153)分布的概率密度为),(21nnF其它,00,1222)(2212112221212111ynynnnynnnnyfnnnn图分布的概率密度曲线如F分布有以下性质F).,(~1),,(~1221nnFFnnFF则若(1))4(,)4()2()2(2)(),2(,2)(