两个正态总体均值差和方差的假设检验2

§8.2两个正态总体均值差和方差的假设检验（2）一.两个正态总体均值是否相等的检验二.未知两个正态总体方差的检验样本；是来自于第一个总体的1,...,,21nXXX样本；是来自于第二个总体的2,...,,21nYYY分别为样本均值，YX,给定置信度1-,.,2221分别为样本方差SS两个样本相互独立,),(),,(222211NN两个正态总体一.两个正态总体均值差的检验t检验(2)选择统计量：22221已知检验对象(1)提出原假设,:211H,:210H)(为已知常数.:211H,:210H2111)(nnSYXtW2)1()1(21222211nnSnSnSW其中(3)在假设H0成立的条件下，确定该统计量服从的分布：2~11)(2121nntnnSYXtW(4)选择检验水平,查t-分布表,得临界值t/2(n1+n2-2)，即(5)根据样本值计算统计量的观察值t0,给出拒绝或接受H0的判断：当|t0|t/2(n1+n2-2)时,则拒绝H0；当|t0|t/2(n1+n2-2)时,则接受H0。)}2(|11)({|21212nntnnSYXPW例1从两处煤矿各抽样数次，分析其含灰率（%）如下：甲矿：24.3,20.3,23.7,21.3,17.4乙矿:18.2,16.9,20.2,16.7注意.0常用假定各煤矿的煤含灰率都服从正态分布，且方差相等。问甲、乙两矿煤的含灰率有无显著差异？05.0解根据题意，设甲矿煤的含灰率乙矿煤的含灰率。211,~NX222,~NY.:;:211210HH要检验假设(2)选择统计量：(1)提出原假设.:211H,:210H2111)(nnSYXtW2)1()1(21222211nnSnSnSW其中(3)在假设H0成立的条件下，确定该统计量服从的分布：2~112121nntnnSYXtW查t-分布表,得临界值t/2(n1+n2-2)，即,4,521nn(4)对于检验水平=0.05,,3646.272975.02112tnnt.05.03646.2tP使.3646.2TW所以该检验的拒绝域为(5)由样本值计算得：,02.301,0.18,5.21211snyx,778.71222sn得T的观察值.245.241517707802.300.185.21t由于3646.2245.2t。即，因此，Wt接受原假设即认为两矿煤的含灰率无显0H著差异。但是由于2.245与临界值2.3646比较接近，试验。为稳妥起见，最好再抽一次样，重作一次2.单边假设检验nSXT未知方差2，H0:0,H1:0(1)提出原假设H0:0,H1:0.(2)选择统计量二.基于成对数据的检验})()({21KYXP222121222121}{nnKnnYXPKYXPK由下式确定：即(4)选择检验水平,查正态分布表,得临界值z/2，即（2）U检验，未知，但n1，n2均较大（≥50）检验对象H0：μ1＝μ2选择统计量：KYXZnnK否定域＋于是,22221212221,1,0~222121NnSnSYXUKYXZnSnSK否定域约为＋于是,2222121222212~11)(2121nntnnSYXtW2)1()1(21222211nnSnSnSW其中（3）t检验未知（称方差齐性）检验对象H0：μ1＝μ2选择统计量：例2某厂计划投资一万元的广告费以提高某种糖果的销售量，一位商店经理认为此项计划可使平均每周销售量达到450斤，实行此项计划一个月后，调查了16家商店，计算得平均每周的销售量为418斤，标准差为84斤，问在0.05水平下，可否认为此项计划达到了该商店经理的预期效果。解：根据题意要求是达到或达不到两种结果，所谓达到就是指，每周平均销售量≥450斤，只要＝450斤就算达到预期效果。所谓没有达到是平均每周销售量＜450斤，所以该项目为单边左侧检验问题。设H0：μ＝μ0＝450斤（达到预期效果）H1：μ＜μ0＝450斤（未达到预期效果）根据实际经验，销售量服从正态分布，即设X为每周销售量，则X～N（μ，σ2），此处σ2未知，故用t检验，已知n＝16＝418s＝84α＝0.05t0.05（15）＝1.7531于是K=tα(n-1)=×1.7531=36.82而－μ0＝418－450＝－32＞－36.82（＝－K）说明在接收域内，故在α＝0.05下，接受H0，否定H1，认为该经理的预期效果达到了。如图8—6。xns484xx2．两个正态总体方差是否相等的假设检验（方差比是否为1的检验）已知总体X～N（μ1，），X1，X2，…，Xnl为X的样本，Y～N（μ2，），Y1，Y2，…，Ynl为Y的样本，X与Y独立检验对象H0：（或）由第七章定理5知统计量21222221122211,1~2121222221nnFSSF在H0成立情况下，，故：接收域为否定域为122211,1~212221nnFSSF)]1,1(),1,1([2121122nnFnnF)1,1(2122212nnFSS)1,1(21122212nnFSS或例3机器包装食盐，假设每袋盐的净重服从正态分布，规定每袋标准重量为1市斤，标准差不能超过0.02市斤，某天开工后，为检查其机器工作是否正常，从装好的食盐中随机抽取9袋，测其净重（单位：市斤）为：0.9941.0141.020.951.030.9680.9761.0480.982问这天包装机工作是否正常（α＝0.05）？解：设X为一袋食盐的净重，依题意X～N（μ，σ2）需检验H0：μ＝1以及关于μ＝1的检验问题，因σ2未知，故用t检验已知n＝9α＝0.0522002.0:H998.09191iixx032.0)(81912iixxs306.2)8()1(025.02tnt0246.0306.29032.0)1(2ntnsK于是故可以认为μ＝1再检验假设，选取统计量否定域如下确定（图8－8）0246.0002.0|1998.0|||0x22002.0:H22102.0:H1~)1(2222nSnKSP22于是故拒绝，接收，即认为方差超过0.022显著，因此该天包装机工作可以认为不正常。KnSnP)1()1(22938.1507.1581)1(11),1()1(22nnKnKn938.156.202.0032.02222S而0H1H例4一个安眠药制造厂想对新型安眠药B和目前市场上流行的安眠药A两者的疗效进行比较，抽选25名受试验者组成一个随机样本，使之服用安眠药B三个夜晚，再抽选25名受试验者组成另一个独立随机样本，使之服用安眠药A三个夜晚，可以认为服药者所延长的睡眠小时数服从正态分布，试验结果列表如下：能否认为安眠药B优于安眠药A？（α＝0.01）安眠药（平均延长睡眠小时数）S2A1.40.09B1.90.16x解：以X表示服安眠药A所延长的睡眠小时数，X～N（μ1，），以Y表示服安眠药B所延长的睡眠小时数，Y～N（μ2，），要检验的假设为H0：μ1＝μ2，H1：μ1＜μ2因为、未知，样本容量n1（＝25）、n2（＝25）不大，故应用t检验法，然而检验两个正态总体均值相等需方差齐性的条件，因此，先检验＝:＝21212121222222220H统计量此处n1＝n2＝251,1~)1/()1()1/()1(212221222222121211nnFSSnSnnSnF＝97.2)24,24()1,1(005.0112FnnF而)1,1(1)1,1(1221122nnFnnF)24,24(1005.0F97.215625.016.009.02211ss于是，在α＝0.01下接收，即可以认为这两个正态总体具有方差齐性，故可用t检验。H0：μ1＝μ2，H1：μ1＜μ2统计量97.25625.097.21因0H2~112121nntnnSYXtWK≈0.3536×0.2828×2.33＝0.233因＝1.4－1.9＝－0.5＜－0.233所以在α＝0.01下接收H1，即认为安眠药B的疗效优于安眠药A。为了便于比较，把四种检验分别列表如下：)2(112121nntnnSKW)22525(2512512252516.02409.02401.0t33.2)48(01.001.0Ztxy表8－1正态总体均值检验表表8－2两个正态总体均值之差检验表表8－3检验表8－4F检验（方差比检验）表