万能解题模型(四)-全等三角形中常见基本模型

第四单元图形的初步认识与三角形万能解题模型(四)全等三角形中常见基本模型基本模型1平移模型如图，可看成是由对应相等的边在同一边上移动所构成的，故对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和差证得．1．(2019·南充改编)如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC.若∠ADO＝35°，求∠DOC的度数．解：∵点O是线段AB的中点，∴AO＝BO.∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠OBC.在△AOD和△OBC中，AO＝BO，∠AOD＝∠OBC，OD＝BC，∴△AOD≌△OBC(SAS)．∴∠ADO＝∠OCB＝35°.又∵OD∥BC，∴∠DOC＝∠OCB＝35°.基本模型2对称模型如图，图形沿着某一条直线折叠，这条直线两边的部分能够完全重合，重合的顶点即为全等三角形的对应点．2．如图，AB＝AC，D，E分别为AC，AB的中点，连接BD，CE相交于点F.求证：∠B＝∠C.证明：∵AB＝AC，D，E分别为AC，AB的中点，∴AE＝AD.在△ABD和△ACE中，AD＝AE，∠A＝∠A，AB＝AC，∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴∠B＝∠C.基本模型3旋转模型此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的，旋转后的图形与原图形之间存在两种情况：(1)无重叠：两三角形有公共顶点，无重叠部分．(2)有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角．3．(2018·黑龙江)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为()A．15B．12.5C．14.5D．17B4．(2018·鞍山)如图，在等边△ABC中，AE＝CD，CE与BD相交于点G，EF⊥BD于点F.若EF＝2，则EG的长为()A.334B.433C.332D．4B5．(2018·东营)如图，点E在△DBC的边DB上，点A在△DBC内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC.给出下列结论：①BD＝CE；②∠ABD＋∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2(AD2＋AB2)－CD2.其中正确的是()A．①②③④B．②④C．①②③D．①③④A6．如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝4，E是AD的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E旋转，三角板的两直角边分别交AB，BC(或它们的延长线)于点M，N，设∠AEM＝α(0°＜α＜90°)，给出下列四个结论：①AM＝CN；②∠AME＝∠BNE；③BN－AM＝2；④S△EMN＝2cos2α.上述结论中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4C7．(2018·滨州)已知在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．(1)如图1，若点E，F分别为AB，AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE＝AF；(2)若点E，F分别为AB，CA延长线上的点，且DE⊥DF，则BE＝AF吗？请利用图2说明理由．解：(1)证明：连接AD.∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD＝45°.∵点D为BC的中点，∴AD＝12BC＝BD，∠FAD＝45°.∵∠BDE＋∠EDA＝90°，∠EDA＋∠ADF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF.在△BDE和△ADF中，∠EBD＝∠FAD，BD＝AD，∠BDE＝∠ADF，∴△BDE≌△ADF(ASA)．∴BE＝AF.(2)BE＝AF，理由如下：连接AD，∵∠ABD＝∠BAD＝45°，∴∠EBD＝∠FAD＝135°.∵∠EDB＋∠BDF＝90°，∠BDF＋∠FDA＝90°，∴∠EDB＝∠FDA.在△EDB和△FDA中，∠EBD＝∠FAD，BD＝AD，∠EDB＝∠FDA，∴△EDB≌△FDA(ASA)．∴BE＝AF.基本模型4三垂直模型证明过程中多数用到“同(等)角的余角相等”，从而可证得相等的角．8．如图，矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，将一块三角板的直角顶点放在E点处，并使它的一条直角边过点A，另一条直角边交CD于点M.若点M为CD中点，BC＝6，则BE的长为()A．2B.73C.83D．3A9．(2018·南京)如图，AB⊥CD，且AB＝CD.E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE＝a，BF＝b，EF＝c，则AD的长为()A．a＋cB．b＋cC．a－b＋cD．a＋b－cD10．(2019·长沙)如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G.(1)求证：BE＝AF；(2)若AB＝4，DE＝1，求AG的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠ADF＝90°，AB＝AD＝CD.∵DE＝CF，∴AE＝DF.在△BAE和△ADF中，AB＝DA，∠BAE＝∠ADF，AE＝DF，∴△BAE≌△ADF(SAS)．∴BE＝AF.(2)由(1)得△BAE≌△ADF，∴∠EBA＝∠FAD.∴∠GAE＋∠AEG＝90°.∴∠AGE＝90°.∵AB＝4，DE＝1，∴AE＝3.∴在Rt△ABE中，BE＝AB2＋AE2＝5.∵S△ABE＝12AB·AE＝12BE·AG，∴AG＝AB·AEBE＝125.