正弦定理和余弦定理高三复习

正弦定理和余弦定理授课教师：马金昕考纲要求掌握正余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题一.知识梳理正弦定理：sinsinsinabcABC2R（其中R为该三角形外接圆的半径）常见变形式：2sinaRAsin2aAR1.利用正弦定理解三角形，可以解决两类问题（1）知两角一边求其他（2）知两边及一边对角求其他::sin:sin:sinabcABC余弦定理：2222222cos2cosbcacaBcababC常见变形公式：222cos2bcaAbc2222222cos2cosbcacaBcababCa2=b2+c2-2bccosA1.利用余弦定理，可以解决两类有关三角形的问题（1）知三边求各角（2）知两边及其夹角求其他解三角形中的常用公式和结论（1）A+B+C=π.（2）大边对大角,大角对大边（3）sin(A+B)=cos(A+B)=-cosC，tan（A+B）=-tanC=sinCsin（π-C）考点一：应用正余弦定理解三角形例1:26(1)在△ABC中，a＝1，b＝，A＝则B=()()4A3()4B5()66D或C得sinB=又ba所以BA解：sinsinabAB由22所以选C3()44C或例1（2）△ABC中,a=5,b=8,c=10,则△ABC是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法判断B2C例2△ABC中,a=3,b=6,sin=则c=___1317分析：2cos12sin2CC例3在△ABC中，c＝4，A=450则a=_____2cosB=10解：sinB==sin(A+B)=sinsinacAC由21cosB45得a=5227210sinC2例4考点二：正余弦定理的综合应用31010BC=3,则sinA=________（2013.天津高考）△ABC中，B=,AB=4324例5在△ABC中,若a=2bcosC,则△ABC是()(A)锐角三角形(B)等腰三角形(C)钝角三角形(D)直角三角形B解法1：余弦定理角化边解法2：正弦定理边化角a=22222abcbabsinA=sin(B+C)2RsinA=22RsinBcosC例6(2013山东高考）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边,a+c=6,b=2，7cos=9B（Ⅰ）求a,c的值（Ⅱ）求sin(A-B)的值解：(Ⅰ)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB得b2=a2+c2-2ac-2accosB又a+c=6,b=2所以ac=9解得a=3,c=37cos=9B在中△ABC中由正弦定理得因为a=c所以为A锐角所以因此242sin=1cos9BBsin22sin=3aBAb21cos=1sin3AA102sin()=sinAcosB-cosAsinB=27AB7cos=9B(Ⅱ)解：例6(2013山东高考）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边,a+c=6,b=2，（Ⅰ）求a,c的值（Ⅱ）求sin(A-B)的值1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的．解题时要根据具体题目合理选用2.根据所给边角等式利用正余弦定理将角化边或边化角，实现统一小结1：正弦定理，可以解决两类解三角形的问题余弦定理，可以解决两类解三角形的问题2：根据边角等式的特点利用正余弦定理，实现边角转化3：注意转化与化归及方程的思想方法的应用(2012.宁夏高考）.已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，。（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为，求b，c。cos3sin0aCaCbc3（2013.宁夏高考）（新课标Ⅱ卷）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=bcosc+csinB(Ⅰ)求B;(Ⅱ)若b=2,求△ABC面积的最大值.