第一章-流体力学基础4-连续性方程、流体运动方程与能量方程

1第一章流体力学基础——流体运动的微分方程西安建筑科技大学粉体工程研究所李辉2EXIT质量传递——连续性方程动量传递——纳维－斯托克斯方程能量传递——能量方程状态方程流体运动微分方程组所有流体运动传递过程的通解质量守恒定律动量定理能量守恒定律31.3流体运动的微分方程EXIT•质量守恒定律——连续性方程•动量定理——纳维-斯托克斯方程•能量守恒定律——能量方程•定解条件4EXIT1.3.1质量守恒定律——连续性方程•质量既不能产生，也不会消失，无论经历什么形式的运动，物质的总质量总是不变的。•质量守恒在易变形的流体中的体现——流动连续性。18世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程在控制体内不存在源的情况下，对于任意选定的控制体单组分流体运动过程中质量守恒定律的数学描述：流入控制体的质量速率流出控制体的质量速率控制体内的质量累计速率=AB5时刻A点流体密度为，速度沿x，y，z三坐标轴的分量为EXIT1.3.1质量守恒定律——连续性方程连续性方程的推导边长为dx，dy，dz的控制体微元)ρ(x,y,z,)(x,y,z,uzyx,u,uu单位时间内通过左侧控制面流入微元控制体的质量（即质量流量）x方向dydzρux通过右侧控制面流出微元控制体的质量速率dydzdxx)(ρρuxxudxdydzx)(ρxu6EXITA：流入与流出微元控制体的质量速率之差x方向dxdydzx)(ρxuy方向z方向dxdydzy)(ρyudxdydzz)(ρzudxdydzz)(ρy)(ρx)(ρzyxuuuB：微元控制体内的质量累计速率时刻ρdxdydzρ密度质量＋d时刻dxdydzdρρdρρdxdydzρdρdxdydzdxdydzdρρ7EXITdxdydzz)(ρy)(ρx)(ρdxdydzρzyxuuu0uuuzyxz)(ρy)(ρx)(ρρ本方程适用于单组分流体的任意流动形态。散度0dρdivudτ8EXIT1.3.2动量定理——纳维-斯托克斯方程•对一给定的流体系统，其动量的累积速率等于作用于其上的外力总和。雷诺输运定理系统内物理量的变化率控制体内物理量的变化率物理量通过控制体控制面的净流出速率CA+=作用在控制体中流体的合外力动量通量通过控制体控制面的净变化率控制体内流体动量对时间的变化率=+B9EXITA:控制体内流体动量对时间的变化率时刻A点流体密度为，速度沿x，y，z三坐标轴的分量为边长为dx，dy，dz的控制体微元ρ(x,y,z,)u(x,y,z,)zyx,u,uu时刻＋d时刻动量dxdydzuρ(ρu)dxdydzΔρudxdydz(ρudxdydz)10EXITB:动量通量的净变化率ABCD面，时间内流入的动量ΔxρuudydzΔEFGH面，时间内流出的动量ΔxxρuudydzΔρuudydzΔdxx(Δxρuu)dydzdxx时间经此两相对面元的动量净流出量为Δ同理(Δyρuu)dzdxdyy(Δzρuu)dxdydzz11经全部控制面的恒定流动量通量的净变化率为()xyzyxzxyzuuuuuudxdydzxyzuuuuuuuuuuuudxdydzxyzxyzuuuudxdydzdρuρudivudxdydzddρduuρρudivudxdydzdduudivudρdρρdxdydzdd微元流体系统的动量变化率为：duρdxdydzdA+B(ρu)dxdydz+应用连续性方程12C:作用在控制体中流体的合外力作用于微元六面体上的力包括质量力和表面力质量力：设A点单位质量力为，则微元上的质量力为bFdxdydzbF表面力：分别考虑六个面上的应力(图a和b）a.作用在微元上的应力b.作用在微元x方向应力13作用于ABCD、AEHD、AEFB面上的应力分别为作用于EFGH、BFGC、DHGC面上的应力分别为.)(,)(,)(dzkPjPiPzkPjPiPdxPzPdykPjPiPykPjPiPdxPyPdxkPjPiPxkPjPiPdxPxPzzzyzxzzzyzxzzyzyyyxyzyyyxyyxzxyxxxzxyxxxxkPjPiPPPkPjPiPPPkPjPiPPPzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx14所有这六个面上的力在x，y，z轴上的投影分别是yxxxzxxyyyzyyzxzzzPPPdxdydz,xyzPPPdxdydz,xyzPPPdxdydz.xyzdxdydzxyzyxzPPP作用在微元六面体上的全部表面力作用在微元六面体上的力=dxdydzbF+dxdydzxyzyxzPPP15根据动量定理b()xyzyxzPPPduρdxdydzdxdydzdF约去，得dxdydzyxxxxzxyyxyyyzzyzzxzzPduPPdxyzduPPPdxyzPduPPdxyzbxbybzFFF运动方程的微分形式将式1.54和1.57带入化简可得动量方程16222yxxxxxz222222yyyyyxz222222z222uduuuuuuPdxxyz3xxyzduuuuuuuPμdyxyz3yxyzduPdzbxbyzzzbzFFuuuFxyzyxzuuu3zxyz或2d1Pd3buFuu纳维—斯托克斯（Navier—Stokes）方程上式中粘性系数为常数17N-S方程的化简2d1Pd3buFuu当流体不可压，且无粘性：2d1Pd3buFuu222xxxx222222yyyy222222z222duuuuPdxxyzduuuuPdyxyzduPdzbxbyzzzbzFFuuuFxyz0dud常数，0u当流体不可压：EXIT1.3.3能量守恒定律——能量方程•对于某一控制体中流体所做的功和加给该流体的热量之和与流体的能量增加值相等。对于任意选定的控制体流体运动过程中能量守恒定律的数学描述：流入控制体的净能量速率控制体对环境的做功速率控制体内的能量累计速率AD环境输入的热量速率BCtxEρudydzutxtx(Eρ)Eρudxdydzx时刻A点流体密度为，速度，沿x，y，z三坐标轴的分量为，温度为EXIT能量方程的推导对于边长为dx，dy，dz的控制体微元，采用欧拉法推导ρ(x,y,z,)u(x,y,z,)zyx,u,uu单位质量流体的能量为，则单位时间内通过左侧控制面流入微元控制体的能量A项.流入控制体净能量速率：x方向txEρudydz通过右侧控制面流出微元控制体的能量速率utxtx(Eρ)Eρudxdydzxutx(Eρ)dxdydzxT(x,y,z,)2/2tEeuutx(Eρ)dxdydzx同理可得其它两个方向的方程x方向y方向z方向uty(Eρ)dxdydzyutz(Eρ)dxdydzz流入控制体的净能量速率，A项为uuutytxtz(Eρ)(Eρ)(Eρ)dxdydzxyzut(Eρ)dxdydzB项.热交换对于微元控制体，热量交换主要由对流和传导引起，忽略辐射x方向y方向z方向dxdydzxqxdxdydzyqydxdydzzqzdxdydzzqyqxqzyxtqkn代傅立叶定律2tdxdydzk内热源所产生热量dxdydzqC项.外力对控制体所做功质量力做功xbxybyzbzuFuFuFρdxdydzρdxdydzbFu表面力做功xxxxyyxzzPuPuPudxdydzxdxdydzuPuPuPyzyzyyyxyxdxdydzuPuPuPzzzzyzyxzxx方向y方向z方向xyzPuPuPu[++]dxdydzxyz0,0quD项.能量累计速率tρEdxdydz将求得的ABCD四项代入方程化简得：2dePt-udqk内能的增量内热源获得的热量热传导所获热量对外做功耗散功对于无内热源、不可压流体、忽略耗散项，能量方程可简化为：2PdtcktdvPeCtct1.3.4定解条件由前面推导出来的连续性微分方程、动量微分方程、能量微分方程、流体状态方程和应力与应变率关系可得微分方程组yxxxxzxyxyyyzyyzzxzzz222yxzxxxxyxzyx222()()()0PduPPdxyzduPPPdxyzPduPPdxyzuuuudetttPPPPdxyzxxxyxzbxbybzuuuxyzFFFqkyzyyyzyxzzxzyzzuuPPyyyuuuPPPzzzP)u32zuμ(2PP)u32yuμ(2PP)u32xuμ(2PxuzuPPyuzuPPxuyuPPTfpzzzyyyxxxzxzxxzzxxzzyzyyzzyyzyxyxxyyxxy)()()(),(连续性方程N-S方程能量方程压强切应力法向应力封闭可解1.3.4定解条件初始条件000000000000(,,,)(,,)(,,,)(,,)(,,,)(,,)(,,,)(,,)(,,,)(,,)(,,,)(,,)xxxyyyzzzuuxyzuxyzuuxyzuxyzuuxyzuxyzPPxyzPxyzxyzxyzttxyztxyz开始时刻（＝0），各未知量的函数分布边界条件：固壁条件速度条件1平壁0,ssuuu板2多孔壁0,rssuuu温度条件1固壁绝热2固壁等温0stnwtt3固体非稳态导热过程第一类边界条件wStt第二类边界条件fSStkhttn第三类边界条件wSqtnk28EXIT小结质量守恒定律——连续性方程动量定理——纳维-斯托克斯方程能量守恒定律——能量方程定解条件