勾股定理难题精选

1勾股定理一、选择题1、直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（）A、6厘米B、8厘米C、1380厘米D、1360厘米2、若等腰三角形腰长为10cm，底边长为16cm,那么它的面积为()A.48cm2B.36cm2C.24cm2D.12cm23、Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（）A、121B、120C、132D、不能确定解：设该Rt△的三边分别为a、b、c，a、b为直角边，c为斜边由勾股定理知：222abc，即：112＋b2=c2所以（b+c）（c－b）=121因为b、c都为自然数，所以b+c，c－b，都为正自然数。又因为121只有1、11、121这三个正整数因式，所以b+c=121，c－b=1。所以b=60，c=61评论，本题以直角三角形为载体，同过勾股定理将初中几何知识和代数知识很好地串联起来考察学生的能力。4、如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（）A．4B．6C．8D．105、△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（）A．42B．32C．42或32D．37或3310、某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（）A、450a元B、225a元C、150a元D、300a元11．已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm2150°20m30m第10题图ABEFDC第11题图北南A东第12题图212．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里8、直角三角形的一条直角边长为12，另外两条边长均为自然数，则其周长可以为（）A．36B．28C．56D．不能确定9、已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足2(6)8100abc，则三角形的形状是（）A．底与边不相等的等腰三角形B、等边三角形C、钝角三角形D、直角三角形10、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小小正方形拼成的一个大正方形（如图1所示），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，那么2)(ba的值为（）．A．13B．19C．25D．169二、填空题15、如图，从电线杆离地面3米处向地面拉一条长为5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底部有米。[来源:学*科*网Z*X*X*K]16、如图，沿倾斜角为30的山坡植树，要求相邻俩棵树的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为m。（精确到0.1m，可能用到的数据41.12，73.13）。17、已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积为。18、在高5m，长13m的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图所示，地毯的长度至少需要___________m．[来源:学+科+网]18、若正方形的面积为18cm2，则正方形对角线长为__________cm。[来19、在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=．图1320、．有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是_________cm．21、已知等边三角形的边长为2cm，则面积为。22、“对顶角相等。”的逆命题是_____________________。23、如图，△ABC为一铁板零件，AB=AC=15厘米，底边BC=24厘米，则做成这样的10个零件共需平方厘米的材料．24、已知△ABC的三边a、b、c满足等式|a-b-1|+|2a-b-14|=-|c-5|，则△ABC的面积为________.三、解答题1、如图：A、B两点与建筑物底部D在一直线上，从建筑物顶部C点测得A、B两点的俯角分别是30°、60°，且AB=20，求建筑物CD的高。2、如图，海中有一小岛A，在该岛周围10海里内有暗礁，今有货船由西向东航行，开始在A岛南偏西45º的B处，往东航行20海里后达到该岛南偏西30º的C处，之后继续向东航行，你认为货船继续向东航行会有触礁的危险吗？计算后说明理由。3、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，4一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？4、如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？分析：（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C，若AC＞200则A城不受影响，否则受影响；（2）点A到直线BF的长为200千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，则C是DG的中点，在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．解答：解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，因为160＜200，所以A城要受台风影响；（2）设BF上点D，DA=200千米，则还有一点G，有5AG=200千米．因为DA=AG，所以△ADG是等腰三角形，因为AC⊥BF，所以AC是DG的垂直平分线，CD=GC，在Rt△ADC中，DA=200千米，AC=160千米，由勾股定理得，CD===120千米，则DG=2DC=240千米，遭受台风影响的时间是：t=240÷40=6（小时）．点评：此题主要考查辅助线在题目中的应用，勾股定理，点到直线的距离及速度与时间的关系等，较为复杂．5、一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm．考点：平面展开-最短路径问题．菁优网版权所有分析：要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．解答：解：如图：根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况：（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图（1）AB′2=AB2+BB′2=（2+1）2+42=25；（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图（2）AB′2=AC2+B′C2=22+（4+1）2=4+25=29；（3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图（3）AB′2=AD2+B′D2=12+（4+2）2=1+36=37；综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB′2=25，即AB′=5cm．点评：此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．6、如图2（1），是小红用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，6斜边长为c，如图2（2）是以c为直角边的等腰直角三角形，她想将它们拼成一个能证明勾股定理的图形，可以吗？（1）如果能，请你画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形？（2）用这个图形证明勾股定理．（3）假设图2（1）中的图有若干个，你能运用（1）中所示的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图．（无需证明）解：（1）如图是直角梯形.（2）因为S梯形＝12(a+b)(a+b)＝12(a+b)2，S＝2×12ab+12c2＝ab+12c2，所以12(a+b)2＝ab+12c2，即a2+b2＝c2.（3）如图所示.评论：这是一道图形换的题，具体涉及到图形的拼凑，解决勾股定理这方面的试题关键是要对课本勾股定理证明涉及到的几种常见的图形以及证明过程和原理要熟练掌握，再利用适当的迁移便可以解答了。7、小明有一根70cm长的木棒，现有一个长、宽、高分别为30cm、40cm、50cm的木箱，这个木箱能够容下小明的这根木棒吗？请你说明理由。（8分）ccbaba、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220km的B处有一台风中心．其中心最大风力为12级，每离台风中心20km，风力就会减弱一级，该台风中心现在正以15km/h的速度沿北偏东30°方向往C移动，且台风中心风力不变，如图14-10，若城市所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响．（1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由；（2）若会受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？该城市受到台风影响的最大风力为几级？解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于D，则AD是该城市离台风中心最短的距离，在Rt△ABD中，∠B=30°，AB=220千米，∴AD=110千米，故城市A受到此次台风影响．（2）在BC上取E、F两点，使AE=AF=160，当台风中心从E处移到F处时，该城市都会受到台风的影响．在Rt△ADE中，DE=22160110≈116.19千米，∴EF≈232.38（千米），故这次台风影响该城市的连续时间约为232.3815≈15.49（小时）．当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12-11020=6.5级．点拨：该城市是否会受到此次台风的影响，取决于该城市距台风中心的最近距离，若大于160km，则不受台风影响．风力达到或超过4级称受台风影响，故该城市从开始受台风影响到结束受台风影响之间的距离除以其速度即为影响的时间，在离台风中心最近处风力最大．25、如图，在△ABC中，AB=AC=6，P为BC上任意一点，请用学过的知识试求PCPB+PA2的值。ABPC第25题图826、在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h。试说明以a+b、h、c+h三边组成的三角形是直角三角形。25解：过点A作AE⊥BC于E，AB=AC∴BE=CE，PB=BE－PE，PC=EC＋PE在Rt△APE中，PA2=PE2＋AE2∴PCPB+PA2=（EC－PE）（BE＋PE）+PA2=（BE－PE）（BE＋PE）+PA2=BE2－PE2+PA2=BE2＋AE2=AB2=62=3626、由S△ABC=12ab=12ch，可得ab=ch在Rt△ABC中，由勾股定理可得：a2+b2=c2∴(a+b)2+h2=a2+2ab+b2+h2=c2+2ch+h2=(c+h)2由勾股定理的逆定理可得：以a+b、h、c+h为边27、已知a、b、c为ABC的三边，且满足cbacba262410338222．试判断ABC的形状．28、如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高AD．29、知识擂台：街道的两旁共有45盏街灯，每两盏灯之间间隔30米、每一盏灯的位置正好在对面街道相对的两盏灯的中间，请问这条街道有多长？勾股定理的应用。分析：根据题意可知45盏灯每2盏间的水平距离为15米，进而可求出街道的长度．解答：解：∵每两盏灯之间间隔30米、每一盏灯的位置正好在对面街道相对的两盏灯的中间∴每2盏间的水平距离为15米故街道的长度为15×44=6