2016版新课标高考数学题型全归纳 理科 PPT.第十二章 计数原理第1节

第十二章计数原理第一节两个基本计数原理✎考纲解读1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题；✎知识点精讲一、基本概念1.分类加法计数原理完成一件事12....nnNmmm①有类方法②任两类无公共方法（互斥）共有种不同方法③每类中每法可单独做好这件事12....nNmmm共有种不同方法1m种3m种A事件1解决方案解决方案2解决方案3解决方案41方法方法2方法3方法4方法5方法6m方法方法72m种im种nm种123....nAmmmm解决事件共有不同的方法图12-1完成一件事n①必须走完步，才能完成任务②前一步怎么走对后一步怎么走无影响（独立）12...122.nNmmm共有种不同方法。如图所示12...12inmmmmBmmmn种种种种解决事件共有种不同的方法图12-2B事件1步骤步骤2n步骤i步骤✎题型归纳及思路提示题型150分类计数原理与分步计算原理【例12.1】现有名老师，名男生和名女生共人，有一项活动需派人参加（1）若只需人参加，有多少种不同选法？（2）若需老师，男生，女生各人参加，有多少种不同选法？（3）若需名老师和名学生参加，有多少种不同选法?【解析】（1）有类选人的方法：名老师中选人，有种方法；名男生中选人，有种方法；名女生中选人，有种方法；由分类计算原理，共有（种）选法.（2）分步选人：第步选老师，有种方法；第步选男生，有种方法；第步选女生，有种方法；由分步计算原理，共有（种）选法.16385.33138185153851611113132835385120（3）可分两类，每一类又分两步，第类：选名教师和名男生，因有两步，故有（种）选法；第类，选名教师和名女生，有两步，故有（种）选法.再由分类计数原理，共有（种）选法.111382421135152439【例12.2】（1）若8名学生争夺3项体育比赛的冠军（每名学生参赛项目不限），则冠军获得者有种不同的情况（每个项目没有并列冠军）.（2）8名学生从3项体育项目中选择参赛，若每一名学生只能参加一项，则有种不同的参赛方法.正确理解任务完成的标志：（2）即为8名学生都报完比赛项目（可以多名学生报一个项目）.【分析】（1）即把3个冠军名额全部分给8个学生（可以一名学生夺取多个冠军）；【解析】（1）第1个冠军名额的去向有8种，第2个冠军名额和第3个冠军名额同样各有8个可能去向.故冠军获得者共有8×8×8=83（种）不同的情况.（2）第一位学生报项目的方法有3种，同样，其他每一位学生都有3种报取项目的选择方法.根据分步计数原理，故应由3×3×3×3×3×3×3×3=38（种）不同的参赛方法.【例12.3】同室4人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则4张贺卡的不同的分配方式有（）.A.6种B.9种C.11种D.23种【分析】将同室4人分别记为𝑎，𝑏，𝑐，𝑑，然后利用4个取卡的情况分步来确定.【解析】解法一：第1步：4个人中的任意一人（例如𝑎）取一张，则由题意知共有3种取法；第2步：由第一人取走的贺卡的供卡人取，也有3种取法；第3步：由剩余的两人中的任意一人取，只有1种取法；第4步：最后一人取，只有1种取法.由分步计数原理，共有3×3×1×1=9（种）.解法二：设4张贺卡分别记为𝐴，𝐵，𝐶，𝐷.由题意，某人（不妨设𝐴卡的供卡人）取卡的情况有3种，据此将卡的不同分配方式分为3类，对于每一类，其他人依次取法分步进行，为了避免重复或遗漏现象，我们用“树图”表示如右：设𝑎，𝑏，𝑐，𝑑代表4个人，𝐴，𝐵，𝐶，𝐷分别代表4个人写的贺卡，则有如图所示的树状图，所以共有9种不同的分配方式.故选B.ABCBACDCBAADADDDDDCCCCAAAABBBBdcba【例12.5变式2】如图所示，有种不同颜色供选，要求每块一种颜色，相邻两块不同色，共有多少种染色方法？【解析】如图所示，记种颜色为可以开始染，有种方法，相邻，不同色，所以有种方法，均相邻，有种染法，最后剩此时要注意分类讨论，如图所示，同色时，有种染法；与不同色时，有种染法，即共有种方法.综上共有种染色方法.1254,,,,ABCDE41,2,3,4,E4AE与AE，A3BAE与，B2CD，，CA与D2CD1CD，4323=723ABCEDDC231图12-5A