高中函数详细分析

映射与函数一、高考要求：理解映射与函数的概念;会求函数的解析式.二、知识要点：1.映射的概念:设A、B是两个非空集合,如果按照某种对应法则,对A内任一个元素,在B中总有一个且只有一个元素与对应,则称是集合A到B的映射;称是在映射作用下的象,记作.于是;称做的原象.映射可记为::A→B,|→.其中,A叫做映射的定义域,由所有象所构成的集合叫做的值域.2.如果A、B都是非空数集,那么A到B的映射,叫做A到B的函数.其中A叫做函数的定义域.函数在的函数值,记作,函数值的全体构成的集合C(C⊆B),叫做函数的值域.(1)函数的两要素:定义域、对应法则.一般情况下,一旦定义域和对应法则确定,函数的值域也就随之确定.两个函数是相同的函数的充要条件是它们的定义域与对应法则分别相同.(2)函数的表示方法:常用的有列表法、图象法和解析法.三、典型例题：例1:已知映射:A→B,其中集合A＝{-3，-2，-1，1，2，3，4},集合B中的元素都是A中元素在映射下的象,且对任意的a∈A,在B中和它对应的元素是|a|,则集合B中元素的个数是()A.4　　　B.5C.6D.7例2:已知集合A={1，2，3，a},B={4，7，b4，b2+3b},其中a∈N*，b∈N*.若x∈A，y∈B,映射:A→B使B中元素y=3x+1和A中元素x对应,求a和b的值.例3:(1)已知,求,.(2)已知,求.四、归纳小结：1.映射是一种特殊的对应.(1)映射:A→B是由集合A、B以及从A到B的对应法则所确定.(2)映射:A→B中的两个集合A、B可以是数集,也可以是点集或其他集合.再者,集合A、B可以是同一个集合.(3)集合A到集合B的映射:A→B与集合B到集合A的映射:B→A,一般来说是不同的.换言之,映射涉及的两个集合有先后次序.(4)在映射:A→B之下,集合A中的任一元素在集合B中都有象,且象是唯一的(简括之:“都有象;象唯一”).(5)给定映射:A→B,集合B中的元素在集合A中可能有一个原象,可能有两个或多个原象,也可能没有原象.(6)如果对于A中的不同元素在集合B中有不同的象,且B中的每一个元素都有原象,那么这个映射叫做A到B的一一映射.一一映射是一种特殊的映射,若设映射:A→B的象集为C,则C⊆B.C=B是映射:A→B构成一一映射的必要条件.2.函数是一种特殊的映射.它是非空数集到非空数集的映射.3.求函数解析式的常用方法:(1)当已知表达式较简单时,可直接用凑合法求解;(2)若已知函数的结构,则可用待定系数法求解;(3)若已知表达式,则常用换元法求解;(4)消去法:已知表达式,求时,可不必先求.五、基础知识训练：（一）选择题：1.在映射:A→B中,下列判断正确的是()A.A中的任一元素在B中都有象,但不一定唯一B.B中的某些元素在A中可能有多个原象,也可能没有原象C.集合A和B一定是数集D.记号:A→B与:B→A的含义是一样的2.已知四个从集合A到集合B的对应(如图),那么集合A到集合B的映射是()A.④B.①和④C.②和④D.③和④3.如果x在映射:R→R下的象是x2-1,那么3在下的原象是()A.2B.-2C.2和-2D.84.集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列不表示从P到Q的函数是()A.:x→y=xB.:x→y=xC.:x→y=xD.:x→y=5.下列每一组中的函数和,表示同一个函数的是()A.;B.;C.;D.;6.(2003高职-11)已知函数,则的解析表达式为()A.B.C.D.7.已知函数,则=()A.3x-1B.3xC.3x+1D.3x+28.函数,满足,则c等于()A.3B.-3C.3或-3D.5或-3（二）填空题：9.集合A、B是平面直角坐标系中的两个点集,给定从A到B的映射:{(x,y)}→{(x2+y2,xy)},则象(5,2)的原象是.10.从集合A={a,b}到集合B{x,y}的映射有个.11.设函数=[x],(x∈R),其中符号[x]表示不大于x的最大整数,则=.（三）解答题：12.已知正方形ABCD的边长为10,一动点P从点A出发沿正方形的边运动,路线是A→B→C→D→A,设点P经过的路程为x,设AP2=y,试写出y关于x的函数.函数的定义域、值域一、高考要求：掌握函数的定义域、值域的求解.二、知识要点：函数是一种特殊的映射.它是非空数集到非空数集的映射,如果A、B都是非空数集,那么A到B的映射:A→B称为A到B的函数.其中原象的集合(自变量的取值集合)A叫做函数的定义域.象的集合(函数值的集合)C(C⊆B)称为函数的值域.三、典型例题：例1;求下列函数的定义域:(1)y=-2x2+3x-1;(2);(3);(4)例2:求下列函数的值域;(1);(2)y=-2x2+4x-1;(3);(4).四、归纳小结：(一)求函数的定义域(自变量的取值范围)常常归结为解不等式或不等式组,常有以下几种情况:1.一个函数如果是用解析式给出的,那么这个函数的定义域就是使这个解析式有意义的自变量的取值集合,具体来说有以下几种:(1)是整式或奇次根式时,定义域为实数集;(2)是分式时,定义域为使分母不为零的实数的集合;(3)是二次根式(偶次根式)时,定义域为使被开方式非负的实数的集合;(4)是对数函数的,要考虑对数的意义.2.如果函数是一些基本函数通过四则运算结合而成的,那么它的定义域是各基本函数定义域的交集.3.由实际问题建立的函数,除了考虑解析式本身有意义外,还要考虑是否符合实际问题的要求.(二)求函数的值域的基本方法是分析法,为分析问题方便起见,常常对函数解析式作些恒等变形.求函数值域的常用方法有:(1)配方法:利用二次函数的配方法求函数的值域要注意自变量的取值范围;(2)判别式法:利用二次函数的判别式法求函数的值域要避免“误判”和“漏判”;(3)图象法:根据函数的图象,利用数形结合的方法来求函数的值域.(4)反函数法:如果函数有反函数,那么求函数的值域可以转化为求其反函数的定义域.五、基础知识训练：（一）选择题：1.函数的定义域是()A.B.C.D.2.函数的定义域为()A.B.C.(-∞,+∞)D.{0}3.函数的定义域为()A.x＞0B.x＞0或x≤-1C.x＞0或x＜-1D.0＜x＜14.函数的定义域为()A.{x|2＜x＜3}B.{x|x＞3或x＜2}C.{x|x≤2或x≥3}D.{x|x＜2或x≥3}5.函数的定义域为[-2,1],则函数的定义域为()A.(,0)B.[,+∞)C.[,+∞)D.(0,+∞)6.(当时,函数的值域是()A.[1,7]B.[-1,1]C.[-1,7]D.7.函数(-5≤x≤0)的值域是()A.B.[3,12]C.[-12,4]D.[4,12]8.若,且,则=()A.3B.3xC.3(2x+1)D.6x+1（二）填空题：9.(函数的定义域为(用集合表示).10.函数的定义域为.11.函数的定义域为.12.已知函数的定义域是[0,1],则函数的定义域是.13.y=x2-5x+6(-3≤x≤2)的值域是.14.已知函数,x∈{0，1，2，3，4，5},则函数的值域是.15.函数的定义域为A,函数的定义域为B,则A∩B=,A∪B=.函数的图象一、高考要求：会用描点法作函数的图象.二、知识要点：函数图象是函数的一种表示形式,它反映了从“图形”方面刻画函数的变化规律.它可以帮助我们研究函数的有关性质,也可以帮助我们掌握各类函数的基本性质.函数的图象可能是一条光滑的直线,也可能是曲线或折线或其中的一部分,还可能是一些间断点.描点法是作函数图象的基本方法.三、典型例题：例1:画出下列各函数的图象:(1)y=1-x(x∈Z);(2)y=|x-1|;(3)y=2x2-4x-3(0≤x＜3);(4)y=x3.例2:ABCD是一个等腰梯形,下底AB=10,上底CD=4,两腰AD=BC=5,设动点P由B点沿梯形各边经C、D运动到A点,试写出△PAB的面积S与P点所行路程x之间的函数关系式,并画出其图象.四、归纳小结：1.画函数的图象(草图)的一般步骤是:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式(如含有绝对值的函数化为分段函数);(3)利用基本函数画出所需的图象.2.利用描点法画函数的图象时要注意根据具体函数进行分析:如何取点,取多少点.五、基础知识训练：（一）选择题：1.函数的图象与直线的交点个数是()A.有一个B.至少有一个C.至多有一个D.有一个或两个2.已知函数的图象如右图,则()A.b∈(-∞,0)B.b∈(0,1)C.b∈(1,2)D.b∈(2,+∞)（二）填空题：3.函数的图象关于点对称.4.方程lgx=sinx的实数解的个数是.（三）解答题：5.已知等边三角形OAB的边长为2,直线⊥OA,截这个三角形所得的图形位于的左方(图中阴影部分)的面积为y,O到的距离为x(0≤x≤2).(1)求出函数的解析式(8分);(2)画出的图象(4分).函数的单调性与奇偶性一、高考要求：理解函数的单调性与奇偶性.二、知识要点：1.已知函数,在给定的区间上,任取两点A(),B(),记,.当时,函数在这个区间上是增函数;当时,函数在这个区间上是减函数.如果一个函数在某个区间上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间上具有(严格的)单调性.2.如果对于函数的定义域A内的任一个x,都有,则这个函数叫做奇函数;如果对于函数的定义域A内的任一个x,都有,则这个函数叫做偶函数.一个函数是奇函数的充要条件是,它的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形;一个函数是偶函数的充要条件是,它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形.三、典型例题：例1:已知函数在区间上是减函数,求实数a的取值范围.例2:判断下列函数的奇偶性:(1);(2);(3);(4).例3:已知函数的定义域为(-1,1),且满足下列条件:(1)是奇函数;(2)在定义域内单调递减;(3).求实数a的取值范围.例4:已知奇函数在[-b,-a](a＞0)上是增函数,那么它在[a,b]上是增函数还是减函数?为什么?四、归纳小结：1.根据定义讨论(或证明)函数增减性的一般步骤是:(1)设是给定区间内的任意两个值,且,即;(2)作差,并将此差化简、变形;(3)判断的符号,从而证得函数得增减性.2.判断函数奇偶性的步骤:(1)考查函数的定义域是否关于原点对称;(2)判断(变通式为)之一是否成立.五、基础知识训练：（一）选择题：1.已知函数①;②;③;④;⑤.其中为偶函数的是()A.①②③B.①②④C.①④⑤D.②④⑤2.奇函数(x∈R)的图象必过点()A.(a,)B.(-a,)C.(-a,)D.(a,)3.下列函数中,在(-∞,0)内是减函数的是()A.y=1-x2B.y=x2+2C.D.4.对任意奇函数(x∈R)都有()A.＞0B.≤0C.≤0D.＞05.下列函数在定义域内既是奇函数,又是单调增函数的是()A.B.C.D.6.设函数在R上是偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,则在(-∞,0)上是()A.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数7.已知函数是偶函数,那么是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数8.如果奇函数在(0,+∞)上是增函数,那么在(-∞,0)上()A.是增函数B.是减函数C.既可能是增函数,又可能是减函数D.不一定具有单调性9.已知为偶函数,当时,;当,函数表达式为()A.B.C.D.10.函数,当x∈时是增函数,当x∈时是减函数,则等于()A.-3B.13C.7D.由m而定的常数（二）填空题：11.已知是奇函数,是偶函数,且,则.12.定义在R上的偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增,且.则实数a的取值范围是.13.已知偶函数在[-b,-a](a＞0)上是增函数,那么它在[a,b]上是.（三）解答题：14.定义在[-2,2]上的偶函数,当x≥0时,单调递减,若成立,求m的取值范围.15.设函数是奇函数(a、b、c∈Z),且=2,＜3.(1)求a、b、c的值;(2)判断并证明在上的单调性.反函数一、高考要求：理解