介观物理讲义

介观物理讲义刘玉良清华大学高等研究中心目录第一章介观物理的特征长度和基本概念1.1什么是介观系统1.2费米波长、费米面和态密度1.3平均自由程1.4位相相干长度1.5弹性和非弹性散射1.6扩散区和弹道区1.7低磁场磁阻和漂移率第二章量子输运和Anderson局域化2.1Anderson局域化和Mott迁移率边2.2局域化区的热激发电导2.3Thouless表象和导线中的局域化及有限温度效应2.4局域化的标度理论2.5弱局域化2.6退相干的基本原理第三章输运中的量子干涉效应和Landauer-Büttiker公式3.1电导和透射几率3.2S矩阵3.3多通道Landauer-Büttiker公式3.4多端Landauer-Büttiker公式和Onsager-Casimir对称性3.5量子电阻的串联和一维局域化3.6量子电阻的并联和电导的Aharonov-Bohm振荡3.7普适电导涨落3.8正常金属环中的持续电流第四章弹道输运和库仑阻塞4.1电子的弹道输运4.2库仑阻塞4.3量子点中的库仑阻塞4.4共振透射和Kondo效应第一章介观系统的特征长度和基本概念1.1什么是介观系统对于宏观导体，在保持外界条件不变的情况下，把它分成两块，每一块的物理性质，如温度、比热、电导率等，应保持不变。这已为大量的实验所证实，并在此基础上建立了普通物理学、热力学和统计物理等。我们可以一直这样分割下去而保持每一个子系统有相同的物理性质吗？现代物理学告诉我们，答案是否定的！在接近于粒子的deBroglie波长的微观尺度内，粒子具有波-粒二象性，它的坐标和动量，能量和时间满足测不准原理。经典意义上的粒子的轨道的概念失去意义，而用状态波函数来描述粒子的传播。一般情况下，粒子的状态波函数由两部分组成，一部分是它的振幅，其平方表示粒子在该点出现的几率，另一部分是它的位相，表示粒子的量子相干，一般情况下它是时间和坐标的函数。位相的出现有其深刻的物理含义，而不是数学上的一个简单相因子，它表征粒子内在的波的本性。由此我们可以观测到电子的干涉和衍射现象。然而粒子的量子行为随着系统尺度的增大、大量粒子的热运动及与杂质的散射破坏了粒子的量子相干性而迅速消失，这就是为什么除超导、超流和量子Hall效应等外，我们观测不到一般宏观系统的量子现象。根据Ohm定律，一个长方体导体的电导与它的横截面积S成正比而与它的长度L成反比：LSG/σ=这里电导率σ只与导体的内部性质有关，而与导体的大小形状没有关系。人们非常关心在什么样的尺度下这个关系不再成立，因为在微观尺度下，如接近于粒子的deBroglie波长，粒子的量子行为将显现出来。在应用固体理论和统计物理研究宏观系统的物理性质时，通过取热力学极限（取系统的体积Ω和粒子数N趋于无穷大，而保持粒子数密度n=N/Ω为常数）而得到系统的物理性质。除了在系统的连续相变点外，系统的宏观尺度远大于任何表征粒子量子行为的微观特征长度，因此系统的量子行为很难被观测到。80年代中期随着科学技术的发展和微加工技术的进步，实验上可以制备出接近微观特征长度的样品，这样观测和测量系统的一些重要的量子行为变成可能。尺度介于宏观和微观的系统称为介观系统。更确切地说，尺度接近下面所定义的，表征粒子量子行为的特征长度的系统称为介观系统。如果一个导体它的电导满足Ohm定律，它的尺度必须远大于下面三个表征粒子量子行为的特征长度中的任何一个：（1）在费米面（Fermisurface）附近的电子的deBroglie波长Fλ；（2）平均自由程（meanfreepath），它表示占据初始动量本征态的电子被散射到其它动量本征态之前电子所传播的平均距离；（3）位相相干长度（phasecoherencelength），它表示占据某一个本征态的电子在完全失去位相相干前所传播的平均距离，它一般由电子与其它电子、声子和杂质等的非弹性散射所决定。这些特征长度对温度和外磁场有很强的依赖性，并且对不同的材料有很大的变化范围。正因为如此，我们可以在一个很大的范围内观测到不同于宏观（经典）输运的介观输运现象。在介观输运现象中，很多在经典输运中的原理不再有效，如串连的电阻不满足相加原理和并联的电导也不满足相加原理等。如图1所示，是昀ϕL常用的、研究量子点的输运性质的的装置。1.2费米波长、费米面和态密度为了引入一些基本的物理概念，我们考虑一个有限尺度的自由电子气系统而略去正电荷背景和离子的晶格结构。在这种情况下，电子是相互独立的，我们只需考虑单电子薛定谔（Schrödinger）定态方程)()(222xxmkkkψεψ=∇−(1.1)假定系统是一长方体并具有周期性边界条件，且其长、宽、高分别为、和。电子的波函数是平面波xLyLzLxkizyxkeLLLx⋅=1)(ψ(1.2)本征能量为mkk222=ε(1.3）这里k是电子的波矢量，由它所构成的空间称为电子的相空间或k-空间。如图2，一个昀简单的长方体金属导体。电子的动量可表示为kp=。根据周期性边界条件，波矢量的取值为xxxLnkπ2=，yyyLnkπ2=,zzzLnkπ2=,(1.4)这里xn,,ynzn是整数，每一组{xn,,ynzn}表示电子的一个动量本征态。由上式可以看出单位相体积内的状态数是dL⎟⎠⎞⎜⎝⎛π2(1.5)为了简单起见，我们取LLLLzyx===，这里表示系统的维数。对于上面的情况。每一个由波矢量d3=dk表示的本征态可以占据两个电子（自旋自由度），在绝对零度，电子首先占据能量昀低的本征态，被占据的昀高的本征态的波矢量称为费米波矢量，用Fk表示，对应的动量和能量分别称为费米动量Fk和费米能量222212FFFmvmkE==，这里Fv是费米速度。对于一般的系统，自由电子（传导电子或价电子）数N非常大，在绝对零度，它们所占据的相空间基本上是一个球体（d=3）、一个圆（d=2）或一个由费米波矢量确定的区间[，]（d=1），因此波矢量的变化可以看成是连续的。费米面（Fermisurface）就是由费米波矢量所定义的相体积的表面或边界。对于一维电子气它是两个点；二维电子气它是一个圆；而三维电子气它是一个球面。在零温费米面内的态被全占据，而费米面外的态是空态。Fk−Fk我们以后会经常遇到表示系统的输运性质的物理量—态密度（densityofstates），它的定义是单位能量内的电子的状态数∫Ω⎟⎠⎞⎜⎝⎛=επεdkdLNdd22)(επddkkLdd122−⎟⎠⎞⎜⎝⎛Ω=(1.6)这里因子2来源于电子的自旋自由度，ε是电子的能谱。对于自由电子mk222=ε，Ω是立体角，对于球对称的系统，π4=Ω(d=3)，π2=Ω(d=2)，（d=1），因此我们得到1=Ω1,2,3,22)(22222223===⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=dddmmLmLmmLNεππεπε(1.7)另外一个经常用到的物理量是单位体积单位能量内的状态数（通常也被称为态密度，要注意两者的区别），它定义为。图3给出一个二维的简单示意图。dLNn/)()(εε=表征介观系统的一个重要的特征长度是电子的费米波长FFk/2πλ=。当系统的尺度接近费米波长时，量子涨落非常强；当尺度远大于费米波长时，粒子的量子涨落相对较弱，它的量子相干性很容易受到破坏。费米波矢量与电子密度的关系为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=×===)1(222)2()2(2)3(34)2(22233dkdkdknFFFπππππ(1.8)对于一般单元素金属，如铜、铝、镁等，导带电子密度一般在的量级，因此费米波长在几个Å(1Å=322/10cmcm8100.1−×)（angstrom）的量级。在半导体GaAs/AlGaAs异质结的二维电子气，电子具有很高的迁移率，其费米波长可以达到Fλ~400Å。根据电子的费米波长，我们可以定义系统的有效维数：（1）FλLx,Ly,Lz：三维（2）Fλ~LxLy,Lz：准二维（3）LxFλLy,Lz：二维（4）LxLy~FλLz：准一维（5）Lx，LyFλLz：一维（6）Lx,Ly,Lz~Fλ：0维在零维，系统变成一个量子点（quantumdot），电子间的库仑相互作用变得非常重要，从系统中移去或加进一个电子需要的特征能量是Ec~Le/2，这里L是系统的有效尺度。这个有效维数的定义一般认为是在电子输运的弹道区，而在通常的量子扩散区，系统的有效维数要由位相相干长度来确定，即上面的费米波长Fλ用位相相干长度代替。ϕL我们现在定义一个后面经常用到的量---横向模（transversemodes）或通道（channels），它类似于固体理论中的能带。考虑一个无穷长的细导体，Lx,LyLz，根据（1.4）式，电子的纵向波矢量是连续的，而横向波矢量是分立的。由（1.3）式，电子的能谱可表示成mkLnLnmkEzyyxxnnyx2)(2)(2222,+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=ππ(1.9)在横向，电子的传播受到制约，而在纵向，电子以平面波的形式传播。图4是一个简单的示意图。这样电子的能谱劈裂成一系列子能带（subbands），这些子能带被称为电子的横向模式或通道数，它们用量子数xn和来标记。注意这里的横向模式或通道与固体理论中的电子的能带虽然相似，但其本质是不同的。后者是由于电子受到周期势的散射而导致电子能谱分裂成一系列的子能带。而横向模式或通道是指电子波函数在某个方向是延展的，而在其它方向是局域的。yn1.3平均自由程在外场作用下，系统的载流子（以后都看作是具有有效质量的电子，或称为导带电子）的运动由Boltzmann运动方程决定，其中引入了一个重要的特征长度---平均自由程（meanfreepath）。在非常低的温度下，系统的输运性质主要由费米面附近的电子所决定，因此电子的平均自由程为τFv=，这里τ是驰豫时间（relaxationtime）。它的物理意义是处于某个动量本征态的电子的平均寿命，即处在某一动量本征态的电子在被散射到另一动量本征态前所停留的平均时间。根据Drude公式，金属导体的电导率可以表达为mneτσ2=(1.10)这里m应理解为电子的有效质量。驰豫时间τ包括所有相互作用的贡献，主要有杂质散射（impurityscattering）、电子间的库仑相互作用（Coulombinteraction）、电子-声子相互作用（electron-phononinteraction）等，其相应的驰豫时间分别为imτ、ee−τ、phe−τ等。根据Mathiessen定则，τ可以表示成+++=−−pheeeimττττ1111(1.11)这个定则表示起源于不同散射所产生的电阻可以相加。对于经典输运理论，这个定则是成立的，但对于介观系统的量子输运，它不再有效。对于较纯的金属，杂质散射的贡献很小，而电子间的库仑相互作用由于导带电子的屏蔽效应变得很弱。在温度较高时，声子散射起主要的作用，但当温度降低时，声子的浓度不断减小。因此在温度很低的情况下，杂质散射和电子间由于库仑相互作用而导致的散射将起主要作用。1.4位相相干长度到目前为止，为了引入一些基本概念，我们仅考虑了自由电子气。而对于实际的系统，由于存在晶格缺陷、杂质及离子的振动等，电子受到它们的散射并与之交换能量。例如，由于与其它电子或声子的相互作用，电子从一个本征态散射到另一个本征态。这样的动力学相互作用所导致的电子的非弹性散射将破坏电子位相的相干性。电子保持它的位相相干性所传播的平均距离称为位相相干长度（phasecoherencelength）。根据非弹性散射所导致的电子的位相驰豫时间ϕLϕτ（phaserelaxationtime），在扩散区的位相相干长度可表示成ϕϕτDL=(1.12)这里D是导带电子的扩散系数（diffusioncoefficient）。在弹道区，电子几乎不受杂质的散射，位相相干长度可表示成ϕϕτFvL=(1.13)这个表达式是合理的，因为在极低温度下，系统的输运性质是由费米面附近的电子所决定的。电子间的库仑相互作用所导致的散射和由声子所引起的散射随温度的降低而