2013-2014学年江苏省南京市高一(下)期末数学试卷

第1页（共19页）2013-2014学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）（2014春•南京期末）已知tanα=2，求值tan（α+）=．2．（5分）（2014春•南京期末）不等式＜0的解集是．3．（5分）（2015春•贵阳校级期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则二面角D1﹣AB﹣D的大小为．4．（5分）（2014•大连学业考试）sinx+cosx的最大值是．5．（5分）（2014春•南京期末）如图，球O内切于圆柱O1O2．记球O的体积为V1，圆柱O1O2的体积为V2，则的值是．6．（5分）（2014春•南京期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosA+acosB=c•cosB，则角B的大小是．7．（5分）（2014春•南京期末）圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高是．8．（5分）（2014春•南京期末）若不等式x2﹣ax+4≥0对任意的x∈（0，3）都成立，则实数a的取值范围是．9．（5分）（2014春•南京期末）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若am﹣1+am+1﹣am2=0，S2m﹣1=58，则m=．10．（5分）（2014春•南京期末）关于直线m，n与平面α，β有以下四个命题：第2页（共19页）①若m⊂α，n⊂β，则m，n是异面直线；②若m⊂α，α∥β，则m∥β；③若m∥α，n⊂β，α∥β，则m∥n；④若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥β．其中正确的命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）11．（5分）（2014春•南京期末）若cos（α+）=，则sin（2α﹣）的值是．12．（5分）（2014春•南京期末）将全体正整数排成如图所示的一个三角形数阵．记第i行第j列（i，j为正整数）位置上的数为aij，如a35=5，a41=7，那么a95=．13．（5分）（2014春•南京期末）若满足∠ABC=，AC=1，BC=t的△ABC恰有一个，则实数t的取值范围是．14．（5分）（2014春•南京期末）已知a＞0，b＞0，+=1，则a+b的最小值是．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）（2014春•南京期末）已知cos2θ﹣sin2θ=，θ∈（0，）．（1）求θ的值；第3页（共19页）（2）若sinx=，x∈（，π），求cos（x+θ）的值．16．（14分）（2014春•南京期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥DC，DC=2AB，E为PC的中点．（1）求证：BE∥平面PAD；（2）若AB⊥平面PAD，AD⊥PB，求证：PA⊥平面ABCD．17．（14分）（2014春•南京期末）已知等差数列{an}中，a3=2，3a2+2a7=0，其前n项和为Sn．（1）求等差数列{an}的通项公式；（2）令bn=||，求数列{bn}的前n项和Tn．18．（16分）（2014春•南京期末）某厂以x千克/小时的速度匀速生产一种产品（生产条件要求1≤x≤5），每小时可获得的利润是100（8x+1﹣）元．（1）要使生产该产品每小时获得的利润不低于1600元，求x的取值范围；（2）要使生产1000千克该产品获得的利润最大，问该厂应怎样选取生产速度？并求此最大利润．19．（16分）（2014春•南京期末）如图，在△ABC中，AB=4，AC=1，∠BAC=60°．（1）求BC的长和sin∠ACB的值；（2）延长AB到M，延长AC到N，连结MN，若四边形BMNC的面积为3，求•的最大值．第4页（共19页）20．（16分）（2014春•南京期末）在数列{an}中，Sn为其前n项和．已知4an=1+2Sn（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）是否存在正整数M，使得当n＞M时，a1•a4•a7…a3n﹣2＞a78恒成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由；（3）是否存在等差数列{bn}，使得对任意的n∈N*，都有b1•an+b2•an﹣1+b3•an﹣2+…+bn﹣1•a2+bn•a1=2n﹣﹣1？若存在，试求出{bn}的通项公式；若不存在，请说明理由．第5页（共19页）2013-2014学年江苏省南京市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）（2014春•南京期末）已知tanα=2，求值tan（α+）=﹣3．【考点】两角和与差的正切函数．菁优网版权所有【分析】由条件利用两角和的正切公式计算求得结果．【解答】解：∵tanα=2，∴tan（α+）===﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．2．（5分）（2014春•南京期末）不等式＜0的解集是（0，1）．【考点】其他不等式的解法．菁优网版权所有【分析】将不等式＜0等价转化为不等式组①，或②，分别解之，最后取并集即可．【解答】解：∵＜0，∴①，或②，解①，x∈∅；解②，得0＜x＜1，综上所述，不等式＜0的解集是（0，1）．故答案为：（0，1）．【点评】本题考查分式不等式的解法，将已知不等式等价转化为相应的不等式组①，或②是关键，考查运算能力，属于中档题．第6页（共19页）3．（5分）（2015春•贵阳校级期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则二面角D1﹣AB﹣D的大小为45°．【考点】与二面角有关的立体几何综合题．菁优网版权所有【分析】先确定∠D1AD是二面角D1﹣AB﹣D的平面角，即可求得结论．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB⊥面A1B1C1D1，∴∠D1AD是二面角D1﹣AB﹣D的平面角∵∠D1AD=45°∴二面角D1﹣AB﹣D的大小为45°故答案为：45°【点评】本题考查面面角，解题的关键是利用线面垂直确定面面角．4．（5分）（2014•大连学业考试）sinx+cosx的最大值是．【考点】三角函数的最值．菁优网版权所有【分析】利用辅角公式对原式进行化简整理，利用正弦函数的性质求得其最大值．【解答】解：sinx+cosx=sin（x+）≤故答案为：【点评】本题主要考查了三角函数的最值问题．属基础题．5．（5分）（2014春•南京期末）如图，球O内切于圆柱O1O2．记球O的体积为V1，圆柱O1O2的体积为V2，则的值是．【考点】球的体积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．菁优网版权所有【分析】设出球的半径，求出球的体积，圆柱的体积，即可得到体积的比．【解答】解：设球的半径为：1，则圆柱的底面半径为1，高为2．第7页（共19页）所以球的体积为：=，圆柱的体积为：π×12×2=2π，所以球体积为V1，圆柱体积为V2，则V1：V2=．故答案为：．【点评】本题考查圆柱的体积，球的体积的求法，考查计算能力．6．（5分）（2014春•南京期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosA+acosB=c•cosB，则角B的大小是．【考点】正弦定理．菁优网版权所有【分析】利用正弦定理把已知等式中的边化成角的正弦，利用两角和公式进行化简求得cosB的值．则B可求得．【解答】解：∵bcosA+acosB=c•cosB，∴sinBcosA+sinAcosB=sin（A+B）=sinC=sinCcosB，∵sinC≠0，∴cosB=，∴B=．故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．解题的关键时利用正弦定理完成边角问题的转化．7．（5分）（2014春•南京期末）圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，则这个圆锥的高是2．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．菁优网版权所有【分析】利用扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解得到圆锥的底面半径，然后利用勾股定理确定圆锥的高即可．【解答】解：设此圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得，2πr=，r=1；圆锥的高为：=2．第8页（共19页）故答案为：2．【点评】主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．8．（5分）（2014春•南京期末）若不等式x2﹣ax+4≥0对任意的x∈（0，3）都成立，则实数a的取值范围是a≤4．【考点】一元二次不等式的解法．菁优网版权所有【分析】x2﹣ax+4≥0对任意的x∈（0，3）都成立，等价于a≤x+，在（0，3）上恒成立，转化为求x的最小值即可．【解答】解：x2﹣ax+4≥0即a≤x+，∴x2﹣ax+4≥0对任意的x∈（0，3）都成立，即a≤x+，在（0，3）上恒成立，x+=4，当且仅当x=2时取等号，∴a≤4．故答案为：a≤4．【点评】该题考查二次不等式的求解、函数恒成立，考查转化思想，分离参数化为函数的最值是解决恒成立问题的常用方法．9．（5分）（2014春•南京期末）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若am﹣1+am+1﹣am2=0，S2m﹣1=58，则m=15．【考点】等差数列的前n项和．菁优网版权所有【分析】由已知条件求出am=0或am=2．S2m﹣1==（2m﹣1）am=58，由此能求出m=15．【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，am﹣1+am+1﹣am2=0，∴2am﹣am2=0，解得am=0或am=2．第9页（共19页）S2m﹣1==（2m﹣1）am=58∴am=0不满足条件把am=2代入得m=15．故答案为：15．【点评】本题考查等差数列中项数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的灵活运用．10．（5分）（2014春•南京期末）关于直线m，n与平面α，β有以下四个命题：①若m⊂α，n⊂β，则m，n是异面直线；②若m⊂α，α∥β，则m∥β；③若m∥α，n⊂β，α∥β，则m∥n；④若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥β．其中正确的命题的序号是②．（写出所有正确命题的序号）【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断．【解答】解：若m⊂α，n⊂β，则m，n相交、平行或异面，故①不正确；若m⊂α，α∥β，则由直线与平面平行的判定定理知m∥β，故②正确；若m∥α，n⊂β，α∥β，则m与n平行或异面，故③不正确；第10页（共19页）若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥β或n⊂β，故④不正确．故答案为：②．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．（5分）（2014春•南京期末）若cos（α+）=，则sin（2α﹣）的值是﹣．【考点】二倍角的正弦．菁优网版权所有【分析】由cos（α+）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin2（α+）的值，利用二倍角的余弦函数公式求出cos（2α+）的值，原式中角度变形后利用由公式化简即可求出值．【解答】解：∵cos（α+）=，∴sin2（α+）=1﹣=，∴cos（2α+）=cos2（α+）﹣sin2（α+）=，则sin（2α﹣）=sin（2α+﹣）=﹣cos（2α+）=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．12．（5分）（2014春•南京期末）将全体正整数排成如图所示的一个三角形数阵．记第i行第j列（i，j为正整数）位置上的数为aij，如a35=5，a41=7，那么a95=41．【考点】归纳推理．菁优网版权所有【分析】先找到数的分布规律，求出第n﹣1行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n行从左向右的第5个数，代入n=9可得．第11页（共19页）【解答】解：由排列的规律可得，第n﹣1行结束的时候共排了1+2+3+…+（n﹣1）=个数，∴第n行从左向右的第5个数为+5=，把n=9代入可得第9行从左向右的第5个数，即a95=41，故答案为：41【点评】本题借助于一个三角形数阵考查等差数列的应用