中国科学技术大学2018年自主招生数学试题

12018年中国科学技术大学自主招生数学试题1.()201831i-=________.解答：复数的三角表示：()()201820182018201820182018201731223122cossin233442cossin23.33iiiiipppp骣骣-琪琪-==+琪琪桫桫骣琪=+=-+琪桫2.已知3sin25a=，则()()tan15tan15aa+=-________.解答：积化和差公式()()()()()()tan152sin15cos15sin2sin30=11.sin2sin30tan152sin15cos+15aaaaaaaa++-+==---3.设1,2x-则()2421fxxxx=+++的最小值为______.解答：代数式变形+均值不等式()2241111111++3.1121244422fxxxxxxx骣琪=++=+-?=琪+桫++等号成立当且仅当1.2x=4.设{}1,2,3,4,5S=，则满足()()ffxx=的映射:fSS®的个数为______.解答：①若()fxx=的解只有一个时，此时映射有115315CC=个;②若()fxx=的解有三个时，此时映射有3510C=个；③若()fxx=的解有五个时，此时映射有551C=个；综上，个数为26个.5.设a为复数，i为虚数单位，关于x的方程20xxia++=有实数根，则a的取值范围是________.解答：复数坐标表示与均值不等式设abia=+，则()2210,xxixaxbxia++=+++=，所以21010bxabxaxì+=ï?í+=ïî，2所以222,ababa=+?所以)2,aé??êë.6.已知定义在[)0,+?上的函数()fx是单射，对任意的0,x，有()1xfx，()()12fxfx-=，则()2____.f=解答：函数方程，函数单调性令()1,xfxt-=则()+1,tfxx=而()()()()21212ftftftft=?=-=，又因为()fx是单射，所以21tt=-，则1tº，所以()2fxx=，从而()21.f=7.在四面体ABCD中，ABC是斜边=2AB的等腰直角三角形，ABD是以AD为斜边的等腰直角三角形，已知6CD=，点,PQ分别在线段,ABCD上，则PQ的最小值为_______.解答：特殊四面体和多元函数极值易知四面体ABCD是一个墙角模型，以B为坐标原点，CB为x轴，平面ABC内垂直于CB方向为y轴，CA方向为z轴，建立空间直角坐标系，设,0,()2Pmm-，(),2,0Qnn()()22222222322222PQmnnmnmnmm=-++-=-+-+，22322222tnmnmm=-+-+记，223222220nmnmmt-+-+-=的判别式为：()()212562320,72620mmttD=-+--矰=--?，解得45t³，从而2min2.5PQ=8.点P在圆()()22211xy-+-=上运动，向量PO（其中O为原点）绕点P逆时针旋转90得PQ，则Q点的轨迹方程为________.解答：三角恒等式圆锥曲线参数方程极坐标（以原点为极点）记()cos,sin,Prara则()()cossin,sincos:,,Qxyrararara+-=则cos,sin22xyxyrara-+==，从而2221122xyxy骣骣-+琪琪-+-=琪琪桫桫，于是Q点的轨迹方程为()()22312.xy-++=9.求所有的二次实系数多项式()2fxxaxb=++，使得()()2fxfx.解答：多项式除法+多项式长除法根据带余除法3()()()()422222322xaxbxaxbxaxabaabaaxabab++=++-+-++--+-+于是()()2fxfx，当且仅当()23220abaaabab--=-+=，所以()()()()()(),0,0,0,1,1,1,1,0,2,1ab=---.10.设()()3*1111,1nnaananNn+骣琪==++?琪桫求证：①132111nnkank-=骣琪=+琪桫å；②113nkkka=骣琪+琪桫Õ.递推数列+放缩法证明：①()()31133211,1nnnnaananannnn++骣+琪=+?=琪桫+则132111nnkank-=骣琪=+琪桫å；②()()()333111331+=111nnnnnnnnanannanaannanna+++骣+琪=+揶+=琪桫++，则()1311,1nnkkakan+=骣琪+=琪+桫Õ而()113211111231nnnkkankkk--===++-邋，则33nan.所以()()31133131nnaann+++?+，即113nkkka=骣琪+琪桫Õ.证毕.本文档由华夏园教育提供