数列试题和答案

数列试题和答案一、选择题1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n＋1n＋2，n∈N*，则a4等于()A.130B.134C.120D.132解析：由已知得a4＝S4－S3＝56－45＝130.答案：A2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n(n∈N*)，第k项满足5＜ak＜8，则k等于()A．9B．8C．7D．6解析：∵an＝Sn－Sn－1＝2n－10(n≥2)，a1＝S1＝－8适合上式，∴an＝2n－10(n∈N*)．由5＜ak＜8，得5＜2k－10＜8，∴15＜2k＜18，∴7.5＜k＜9，又k∈N*，∴k＝8.答案：B3．下列四个数中，是数列{n(n＋1)}中一项的是()A．380B．390C．321D．230解析：∵19×20＝380，∴380是{n(n＋1)}的第19项．答案：A4．已知数列{xn}满足xn＋3＝xn，xn＋2＝|xn＋1－xn|(n∈N*)，若x1＝1，x2＝a(a≤1，a≠0)，则数列{xn}的前2010项的和S2010为()A．669B．670C．1338D．1340解析：x3＝|x2－x1|＝|a－1|＝1－a，∴x1＋x2＋x3＝1＋a＋1－a＝2.∵xn＋3＝xn，其周期为3，∴x4＋x5＋x6＝2，∴S2010＝20103×2＝1340.答案：D5．已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝a，a2＝b，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则下列结论正确的是()A．a100＝－a，S100＝2b－aB．a100＝－b，S100＝2b－aC．a100＝－b，S100＝b－aD．a100＝－a，S100＝b－a解析：∵an＋1＝an－an－1(n≥2)，∴an＋2＝an＋1－an＝－an－1，∴an＋5＝－an＋2＝an－1，∴{an}是以6为周期的周期数列．又∵a4＝－a，∴a100＝－a；又S6＝S12＝…＝S96＝0，∴S100＝a＋b＋(b－a)＋(－a)＝2b－a，故应选A.答案：A6．设函数f(x)的部分函数值如下表，数列{an}满足a1＝2，an＋1＝f(an)，则a2011＝()x12345f(x)24313A.1B．2C．3D．4解析：依题意a1＝2，a2＝f(a1)＝f(2)＝4，a3＝f(a2)＝f(4)＝1，a4＝f(a3)＝f(1)＝2，a5＝4，a6＝1，∴a3n＝1，得a2011＝a1＝2.答案：B二、填空题7．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an－33an＋1(n∈N*)，则a20等于________．解析：a1＝0，a2＝－3，a3＝3，a4＝0，a5＝－3，a6＝3，…，an＋3＝an，∴a20＝a2＝－3.答案：－38．数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2，则通项公式an＝______.解析：由an＋1＝3an＋2得an＋1＋1＝3(an＋1)，∴an＋1＋1an＋1＝3，即{an＋1}以a1＋1为首项，公比为3的等比数列．∴an＋1＝2×3n－1，∴an＝2×3n－1－1.答案：2×3n－1－19．已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，则a2009＝_____；a2014＝________.解析：∵a2009＝a503×4－3＝1，a2014＝a2×1007＝a1007＝a4×252－1＝0.答案：1010．设a1＝2，an＋1＝2an＋1，bn＝|an＋2an－1|，n∈N*，则数列{bn}的通项bn＝_____.解析：∵bn＋1＝|an＋1＋2an＋1－1|＝|2an＋1＋22an＋1－1|＝|2an＋2an＋1－an－1an＋1|＝|－2an＋2an－1|＝2bn，∴bn＋1＝2bn，又b1＝4，∴bn＝4·2n－1＝2n＋1.答案：2n＋1三、解答题11．数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝14(an＋1)2，且an0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝20－an，问数列{bn}的前多少项和最大？解析：(1)由已知，得4Sn＝(an＋1)2，∴4Sn＋1＝(an＋1＋1)2，两式相减，得4an＋1＝a2n＋1＋2an＋1－a2n－2an，∴(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0.∵an0，∴an＋1＝an＋2，∴{an}是等差数列，公差d＝2，又a1＝S1＝14(a1＋1)2，得a1＝1，∴an＝2n－1.(2)∵bn＝20－an＝21－2n，∴{bn}是递减数列．又b10＝10，b11＝－10，∴{bn}前10项的和最大．12．已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x－2.数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝3anan＋1，Tn是数列{bn}的前n项和，求Tn.解析：(1)由已知，得f(x)＝3x2－2x.∴Sn＝3n2－2n，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n－5，又n＝1时，a1＝S1＝1适合上式．∴{an}的通项an＝6n－5(n∈N*)．(2)bn＝3anan＋1＝36n－56n＋1＝12[16n－5－16n＋1]，∴Tn＝12[(1－17)＋(17－113)＋…＋(16n－5－16n＋1)]＝12[1－16n＋1]＝3n6n＋1.