考研数三真题(1999)

一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。把答案填在题中横线上。)(1)设()fx有一个原函数sinxx，则2()xfxdx(2)1112nnn(3)设101020101A，而2n为整数，则12nnAA(4)在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布2(,0.2)Na.若以nX表示n次称量结果的算术平均值，则为使0.10.95nPXa，n的最小值应不小于自然数(5)设随机变量,1,2,,;2ijXijnn独立同分布，2ijEX，则行列式111212122212nnnnnnXXXXXXYXXX的数学期望EY二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)(1)设()fx是连续函数，()Fx是()fx的原函数，则()(A)当()fx是奇函数时，()Fx必是偶函数。(B)当()fx是偶函数时，()Fx必是奇函数。(C)当()fx是周期函数时，()Fx必是周期函数。(D)当()fx是单调增函数时，()Fx必是单调增函数。(2)设(,)fxy连续，且(,)(,)Dfxyxyfuvdudv，其中D是由20,,1yyxx所围成的区域，则(,)fxy等于()(A)xy(B)2xy(C)18xy(D)1xy(3)设向量可由向量组12,,,m线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)121,,,m线性表示，记向量组(Ⅱ)121,,,m，则()(A)m不能由(I)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示。(B)m不能由(I)线性表示，但可由(Ⅱ)线性表示。(C)m可由(I)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示。(D)m可由(I)线性表示，但不可由(Ⅱ)线性表示。(4)设,AB为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则()(A).EAEB(B)A与B有相同的特征值和特征向量.(C)A与B都相似于一个对角矩阵.(D)对任意常数t，tEA与tEB相似.(5)设随机变量101(1,2)111424iXi，且满足1201PXX，则12PXX等于()(A)0.(B)14.(C)12.(D)1.三、(本题满分6分)曲线1yx的切线与x轴和y轴围成一个图形，记切点的横坐标为a，试求切线方程和这个图形的面积，当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变换趋势如何？四、(本题满分7分)计算二重积分Dydxdy，其中D是由直线2,0,2xyy以及曲线22xyy所围成的平面区域。五、(本题满分6分)设生产某种产品必须投入两种要素，1x和2x分别为两要素的投入量，Q为产出量；若生产函数为122Qxx，其中,为正常数，且1.假设两种要素的价格分别为1p和2p，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少可以使得投入总费用最小？六、(本题满分6分)设有微分方程2yyx，其中2,10,1xxx试求:在,内的连续函数yyx，使之在,1和1,内都满足所给方程，且满足条件00y.七、(本题满分6分)设函数fx连续，且2012arctan2xtfxtdtx.已知11f，求21fxdx的值.八、(本题满分7分)设函数fx在区间0,1上连续，在0,1内可导，且1010,12fff.试证：(1)存在1,12，使f；(2)对任意实数，必存在0,，使得1ff.九、(本题满分9分)设矩阵15310acAbca，且1A.又设A的伴随矩阵*A有特征值0，属于0的特征向量为1,1,1T，求,,abc及0的值.十、(本题满分7分)设A为mn实矩阵，E为n阶单位矩阵.已知矩阵TBEAA，试证：当0时，矩阵B为正定矩阵.十一、(本题满分9分)假设二维随机变量,XY在矩形,02,01Gxyxy上服从均匀分布.记0,1,XYUXY，0,21,2XYVXY(1)求U和V的联合分布；(2)求U和V的相关系数r.十二、(本题满分7分)设129,,,XXX是来自正态总体X的简单随机样本，112616YXXX，278913YXXX，9222712iiSXY，122YYZS，证明统计量Z服从自由度为2的t分布.