考研数学一历年真题

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)1202xxdx=_____________.(2)曲面2222321xyz在点(1,2,2)的法线方程为_____________.(3)微分方程30xyy的通解为_____________.(4)已知方程组12312112323120xaxax无解,则a=_____________.(5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为19,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等,则()PA=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()fx、()gx是恒大于零的可导函数,且()()()()0fxgxfxgx,则当axb时,有(A)()()()()fxgbfbgx(B)()()()()fxgafagx(C)()()()()fxgxfbgb(D)()()()()fxgxfaga(2)设22221:(0),SxyzazS为S在第一卦限中的部分,则有(A)14SSxdSxdS(B)14SSydSxdS(C)14SSzdSxdS(D)14SSxyzdSxyzdS(3)设级数1nnu收敛,则必收敛的级数为(A)1(1)nnnun(B)21nnu(C)2121()nnnuu(D)11()nnnuu(4)设n维列向量组1,,()mmnαα线性无关,则n维列向量组1,,mββ线性无关的充分必要条件为(A)向量组1,,mαα可由向量组1,,mββ线性表示(B)向量组1,,mββ可由向量组1,,mαα线性表示(C)向量组1,,mαα与向量组1,,mββ等价(D)矩阵1(,,)mAαα与矩阵1(,,)mBββ等价(5)设二维随机变量(,)XY服从二维正态分布,则随机变量XY与XY不相关的充分必要条件为(A)()()EXEY(B)2222()[()]()[()]EXEXEYEY(C)22()()EXEY(D)2222()[()]()[()]EXEXEYEY三、(本题满分6分)求142esinlim().1exxxxx四、(本题满分5分)设(,)()xxzfxygyy,其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求2.zxy五、(本题满分6分)计算曲线积分224LxdyydxIxy,其中L是以点(1,0)为中心,R为半径的圆周(1),R取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间0x内任意的光滑有向封闭曲面,S都有2()()e0,xSxfxdydzxyfxdzdxzdxdy其中函数()fx在(0,)内具有连续的一阶导数,且0lim()1,xfx求()fx.七、(本题满分6分)求幂级数113(2)nnnnxn的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为R的球体0,P是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到0P距离的平方成正比(比例常数0k),求球体的重心位置.九、(本题满分6分)设函数()fx在[0,]上连续,且00()0,()cos0.fxdxfxxdx试证:在(0,)内至少存在两个不同的点12,,使12()()0.ff十、(本题满分6分)设矩阵A的伴随矩阵*10000100,10100308A且113ABABAE,其中E为4阶单位矩阵,求矩阵B.十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为nx和,ny记成向量.nnxy(1)求11nnxy与nnxy的关系式并写成矩阵形式:11.nnnnxxyyA(2)验证1241,11ηη是A的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.(3)当111212xy时,求11.nnxy十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为(01)pp,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X,求X的数学期望()EX和方差()DX.十三、(本题满分6分)设某种元件的使用寿命X的概率密度为2()2e(;)0xxfxx,其中0为未知参数.又设12,,,nxxx是X的一组样本观测值,求参数的最大似然估计值.2001年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设e(sincos)(,xyaxbxab为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.(2)222zyxr,则(1,2,2)div(grad)r=_____________.(3)交换二次积分的积分次序:0112),(ydxyxfdy＝_____________.(4)设24AAEO,则1(2)AE=_____________.(5)()2DX,则根据车贝晓夫不等式有估计}2)({XEXP_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设函数)(xf在定义域内可导,)(xfy的图形如右图所示,则)(xfy的图形为(A)(B)(C)(D)(2)设),(yxf在点(0,0)的附近有定义,且1)0,0(,3)0,0(yxff则(A)(0,0)|3dzdxdy(B)曲面),(yxfz在(0,0,(0,0))f处的法向量为{3,1,1}(C)曲线(,)0zfxyy在(0,0,(0,0))f处的切向量为{1,0,3}(D)曲线(,)0zfxyy在(0,0,(0,0))f处的切向量为{3,0,1}(3)设0)0(f则)(xf在x=0处可导(A)20(1cos)limhfhh存在(B)0(1e)limhhfh存在(C)20(sin)limhfhhh存在(D)hhfhfh)()2(lim0存在(4)设1111400011110000,1111000011110000AB,则A与B(A)合同且相似(B)合同但不相似(C)不合同但相似(D)不合同且不相似(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数,则X和Y相关系数为(A)-1(B)0(C)12(D)1三、(本题满分6分)求2arctaneexxdx.四、(本题满分6分)设函数),(yxfz在点(1,1)可微,且3)1,1(,2)1,1(,1)1,1(yxfff,)),(,()(xxfxfx,求13)(xxdxd.五、(本题满分8分)设()fx21arctan010xxxxx,将)(xf展开成x的幂级数,并求1241)1(nnn的和.六、(本题满分7分)计算222222()(2)(3)LIyzdxzxdyxydz,其中L是平面2zyx与柱面1yx的交线,从Z轴正向看去,L为逆时针方向.七、(本题满分7分)设)(xf在(1,1)内具有二阶连续导数且0)(xf.证明:(1)对于)1,0()0,1(x,存在惟一的)1,0()(x,使)(xf=)0(f+))((xxfx成立.(2)5.0)(lim0xx.八、(本题满分8分)设有一高度为tth)((为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程)()(2)(22thyxthz(设长度单位为厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?九、(本题满分6分)设12,,,sααα为线性方程组AXO的一个基础解系,1112221223121,,,ssttttttβααβααβαα,其中21,tt为实常数,试问21,tt满足什么条件时12,,,sβββ也为AXO的一个基础解系?十、(本题满分8分)已知三阶矩阵A和三维向量x,使得2,,AAxxx线性无关,且满足3232AAAxxx.(1)记2(,,),PAAxxx求B使1APBP.(2)计算行列式AE.十一、(本题满分7分)设某班车起点站上客人数X服从参数为(0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为(01),pp且中途下车与否相互独立.Y为中途下车的人数,求:(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率.(2)二维随机变量(,)XY的概率分布.十二、(本题满分7分)设2~(,)XN抽取简单随机样本122,,,(2),nXXXn样本均值niiXnX2121,niiniXXXY12)2(,求().EY2002年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)exxdx2ln=_____________.(2)已知2e610yxyx,则(0)y=_____________.(3)02yyy满足初始条件1(0)1,(0)2yy的特解是_____________.(4)已知实二次型323121232221321444)(),,(xxxxxxxxxaxxxf经正交变换可化为标准型216yf,则a=_____________.(5)设随机变量),(~2NX,且二次方程042Xyy无实根的概率为0.5,则=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)考虑二元函数),(yxf的四条性质:①),(yxf在点),(00yx处连续,②),(yxf在点),(00yx处的一阶偏导数连续,③),(yxf在点),(00yx处可微,④),(yxf在点),(00yx处的一阶偏导数存在.则有:(A)②③①(B)③②①(C)③④①(D)③①④(2)设0nu,且1limnnun,则级数)11()1(11nnnuu为(A)发散(B)绝对收敛(C)条件收敛(D)收敛性不能判定.(3)设函数)(xf在R上有界且可导,则(A)当0)(limxfx时,必有0)(limxfx(B)当)(limxfx存在时,必有0)(limxfx(C)当0)(lim0xfx时,必有0)(lim0xfx(D)当)(lim0xfx存在时,必有0)(lim0xfx.(4)设有三张不同平面,其方程为iiiidzcybxa(3,2,1i)它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为(5)设X和Y是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(xfX和)(yfY,分布函数分别为)(xFX和)(yFY,则(A))(xfX＋)(yfY必为密度函数(B))(xfX)(yfY必为密度函数(C))(xFX＋)(yFY必为某一随机变量