初一数学-平移、轴对称在直角坐标系中的应用

华乐思在线教学直播课堂马上开始请同学们准备好笔和纸，认真听讲平移、轴对称在直角坐标系中的应用主讲老师：龙文中通过点、线段及其他简单几何图形在平面直角坐标系中的平移、轴对称等图形变换的特征体现，更深的理解平移、轴对称等图形变换的数学本质．一.点的平移，点的对称，点的坐标的变化规律：一、图形的伸长与压缩1．纵坐标保持不变，横坐标分别变成原来的k倍(1)当k为大于1的整数时，原图形被横向伸长为原来的k倍；(2)当0k1时，原图形被横向压缩为原来的k倍．2．横坐标保持不变，纵坐标分别变成原来的k倍(1)当k大于1的整数时，原图形被纵向伸长为原来的k倍；(2)当0k1时，原图形被纵向压缩为原来的k倍．3．横、纵坐标分别变成原来的k倍．(1)当k为大于1的整数时，所得的图形与原图形相比，形状不变，大小放大了k倍；(2)当0＜k＜1时，所得的图形与原图形相比，形状不变，大小缩小了k倍．1．纵坐标保持不变，横坐标分别加k(1)当k为正整数时，原图形形状大小不变，原图形向右平移k个单位长度；(2)当k为负整数时，原图形向左平移k个单位长度二、图形的平移2．横坐标保持不变，纵坐标分别加k．(1)当k为正整数时，原图形形状大小不变，原图形向上平移k个单位长度；(2)当k为负整数时，原图形形状大小不变，原图形向下平移k个单位长度．1．横坐标保持不变，纵坐标分别乘-1，所得的图形与原图形关于横轴成轴对称．三、图形的对称2．纵坐标保持不变，横坐标分别乘-1，所得的图形与原图形关于纵轴成轴对称．3．横、纵坐标分别乘-1，所得的图形与原图形关于原点成中心对称图形．典例分析例1.在直角坐标系中描出点（1，2）、（2，6）、（3，2）、（4，6）、（5，2），并将各点用线段依次连接起来，观察所得的图形，（1）你认为它是一个什么图形？解析：（1）通过正确的作图可得，按题目的要求连接后，得到一个图形，如图1所示，这是一个“M”型。（2）变换1：将图1中的点A、B、C、D、E的纵坐标不变，横坐标分别变成原来的2倍，再将所得的点A1、B1、C1、D1、E1按题目中的连接方式连接，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？解:(2)：点A1(2，2)，B1(4，6)，C1(6，2)，D1(8，6)，E1(10，2)，按要求连接起来如图2所示．和原图形比较，M字图被横向拉长为原来的2倍．（3）变换2:将图1中的点A，B，C，D，E的点横坐标不变，纵坐标都加上3，再将所得A2，B2，C2，D2，E2点按题目的要求连接，所得的图形与原图形比较有什么变化?解(3):点A2(1，5)、B2(2，9）、C2(3，5）、D2(4，9）、E2(5，5）．按要求连接后，所得的图形如图3所示，与原来的图形相比，M字形大小、形状不变，而向上平移了3个单位长度．（4）变换3:将图1中的点A，B，C，D，E的横坐标，纵坐标都乘以-1，再将所得A3，B3，C3，D3，E3点按题目的要求连接，所得的图形与原图形比较有什么变化?解(4):A3(-1，-2）、B3(-2，-6）、C3(-3，-2）、D3(-4，-6）、E3(-3，-2）．所得的图形如图4所示，与原图形相比，M字形绕O点旋转了180度，即两个图形关于O点成中心对称．例2.在平面直角坐标系中，将线段AB平移到A′B′，若点A、B、A′的坐标分别为（-2，0）、（0，3）、（2，1），则点B′的坐标是.(4,4)xy考查:平移的性质例3．如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是()(A)(1,7),(－2,2),(3,4)．(B)(1,7),(-2,2),(4,3)．(C)(1,7),(2,2),(3,4)．(D)(1,7),(2,－2),(3,3)．（08湖北荆门）-4(-1,4)2-1-24123xOy(1,1)(-4,-1)-11-2-3A例4．如图所示，在直角坐标系xOy中，A(一l，5)，B(一3，0)，C(一4，3)．(1)在右图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A′B′C′；(2)写出点C关于y轴的对称点C′的坐标(4，3)。nmABC例5、如图,△ABC,直线m∥直线n,作出△ABC关于直线m对称的△A1B1C1;再作出△A1B1C1关于直线n对称的△A2B2C2.C1B2A2C2B1A1nmABC若两对称轴平行,则两次轴对称相当于一次平移.例6、如图,△ABC,直线m⊥直线n,作出△ABC关于直线m对称的△A1B1C1;再作出△A1B1C1关于直线n对称的△A2B2C2.nC2B2A2C1B1A1mABCnmABC若两对称轴互相垂直,则两次轴对称相当于一次中心对称例7．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD＝2AB若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B＝_______度．考察:轴对称性质的应用30例8.如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，AC＝5cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于_________cm.考察:轴对称性质的应用7课间休息五分钟……例9.如图，三角形ABC经过某种变换后得到了三角形PQR，1）分别写出点A和点P、点B和点Q、点C和点R的坐标；2）请描述上述变换规律；3）根据上述变换规律写出M点的对应点N的坐标；yx-1-2-3-41234-1-2-3-4-5654321MPQRACBO1）容易写出点的坐标A(4,3),P(-4,-3),B(3,1),Q(-3,-1),C(1,2),R(-1,-2)通过观察各组点的坐标不难发现，变换后的横纵坐标等于变换前横纵坐标乘以－1，观察点M的坐标是M(3,2)，于是得到它的对应点N的坐标是（－3，－2）例10.一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到(0,1)，然后接着按图中箭头所示方向运动,即且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是_______(00)(01)(11)(10)，，，，…0123xy123…（第12题）（5，0）例11：已知如图正六边形ABCDEF的中心在原点上，点B在x轴的负半轴上，已知点，求出点C、D、E、F的坐标．)0,2(),3,1(BA)3,1()3,1(（2，0）)3,1(思路分析：利用直角坐标系中关于坐标轴的对称点的坐标的特征，即可得出答案．典型例题例12：已知点A(－2，1)、B（3，4），在x轴上确定一点C，使得AC＋BC最小，求C点坐标．思路分析：本题是数形结合的题目，从形的角度是一道求最短距离的问题，利用轴对称的性质,转化为两点间线段最短，来确定点C的位置；从数的角度，可以利用直角坐标系中的坐标的特征，直接得出A′的坐标，然后用函数的思想，解出直线A′B的解析式，得出C的坐标．典型例题解答：作点A关于x轴的对称点，由轴对称的定义和性质知点的坐标为A′（－2，－1）设直线A′B为y＝kx＋b，即有，解得故y＝x＋1，令y＝0，x＝－1，故点C的坐标为（－1，0）．1243bkbk11bk四、典型例题例13:如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=4，现将△ABC沿CB方向平移到△A’B’C’的位置，若平移距离为3，求△ABC与△A’B’C’的重叠部分的面积；典例分析本节课到此结束，请同学们下节课准时学习．