2019年高考数学全国一卷导数

已知函数()sinln(1)fxxx，()fx为()fx的导数．证明：（1）()fx在区间(1,)2存在唯一极大值点；（2）()fx有且仅有2个零点．分析：（1）设()()gxf'x，则1()cos1gxxx，()gx在1,2存在唯一极大值点的问题就转化为()g'x在1,2有唯一零点，而唯一零点问题经常用零点存在性，即确定单调性及两端点处函数值异号。（2）这是一个零点问题，经常转化为两函数交点问题，即。首先来画一下函数图象。)1ln(sinxx从图象上可以大致确定零点一个为0一个在区间,2上，我们只需证明其他区间无零点就可以了，很显然应该分四段讨论。解：（1）设()()gxf'x，则1()cos1gxxx，21sin())(1x'xgx.当1,2x时，()g'x单调递减，而(0)0,()02g'g'，可得()g'x在1,2有唯一零点，设为.则当(1,)x时，()0g'x；当,2x时，()0g'x.所以()gx在(1,)单调递增，在,2单调递减，故()gx在1,2存在唯一极大值点，即()f'x在1,2存在唯一极大值点.（2）()fx的定义域为(1,).（i）当(1,0]x时，由（1）知，()f'x在(1,0)单调递增，而(0)0f'，所以当(1,0)x时，()0f'x，故()fx在(1,0)单调递减，又(0)=0f，从而0x是()fx在(1,0]的唯一零点.（ii）当0,2x时，由（1）知，()f'x在(0,)单调递增，在,2单调递减，而(0)=0f'，02f'，所以存在,2，使得()0f'，且当(0,)x时，()0f'x；当,2x时，()0f'x.故()fx在(0,)单调递增，在,2单调递减.又(0)=0f，1ln1022f，所以当0,2x时，()0fx.从而，()fx在0,2没有零点.（iii）当,2x时，()0f'x，所以()fx在,2单调递减.而02f，()0f，所以()fx在,2有唯一零点.（iv）当(,)x时，ln(1)1x，所以()fx0，从而()fx在(,)没有零点.综上，()fx有且仅有2个零点.