导数(题型完美版)

第1页共28页高中数学选修2-2资料第一章导数及其应用第一节导数的定义知识点一导数的概念定义：函数()fx在0xx处瞬时变化率是xxfxxfxyxx0000limlim，我们称它为函数xfy在0xx处的导数,记作　或0xf即　0xxyxxfxxfxyxfxx00000limlim＝要点诠释：①增量x可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0。0x的意义：x与0之间距离要多近有多近，即|0|x可以小于给定的任意小的正数。②0x时，Δy在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数。即存在一个常数与00()()fxxfxyxx无限接近。③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率。知识点二求导数的方法求导数值的一般步骤：①求函数的增量：00()()yfxxfx；②求平均变化率：00()()fxxfxyxx；③求极限，得导数：00000()()'()limlimxxfxxfxyfxxx。也可称为三步法求导数。【例1】已知函数)(xf在0xx处可导，则：（1）)(____)()(lim0000xfxxfxxfx；（2）)(____2)()2(lim0000xfxxfxxfx；第2页共28页（3）)(____)()2(lim0000xfxxfxxfx；（4）)(____2)()(lim0000xfxxfxxfx；（5）)(____3)()(lim0000xfxxxfxxfx【例2】求下列函数的导数：（1）xxxfcos)(2（2）)3()(2xxexfx（3）xexfxsin)(（4）xxftan)(（5）)11()(223xxxxxf（6）2cos2sin)(xxxxf（7）)32ln()(xxf（8）)32cos()(xxf（9）)sin(ln)(xxf（10）)32(sin)(2xxf【变式1】求下列函数导数：（1）y＝3x2＋xcosx（2）y＝1xx（3）y＝lgx-ex（4）y=xetanx.【变式2】求下列函数的导数：（1）41yx（2）53yx（3）222loglogyxx（4）22sin(12cos)24xxy【例3】求下列函数的导数：第3页共28页（1）12sincosyxxxx（2）42logaxyx（3）1111yxx【变式3】求下列函数的导数：（1）ln()2(0)1xxfxxx（2）y＝xxxxxxsincoscossin（3）52sinxxxyx.【例4】已知xxfxfsincos)4()(，则)4(f_______.【例5】（逆用求导公式）设)(xf，)(xg是R上的可导函数，且0)()()()(xgxfxgxf，则当ba时，比较)()(agaf与)()(bgbf的大小.【变式4】)(xf是定义在),0(上的非负可导函数，且满足0)()(xfxfx，对任意的正数ba,，若ba，比较)(aaf与)(bbf的大小.【变式5】)(xf是定义在),0(上的非负可导函数，且满足0)()(xfxfx，对任意的正数ba,，若ba，比较)(baf与)(abf的大小.第4页共28页第二节导数的几何意义1．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的_________，即k＝f′(x0)．函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为_____________________．2．导数的物理意义物体的运动方程s＝s(t)在t＝t0处的导数，就是物体在t0时刻的______________．3.由导数的几何意义，求切线的斜率，即是求切点处所对应的导数．因此，求曲线在某点处的切线方程，可以先求函数在该点的导数，即为曲线在该点的切线的斜率，再用直线的点斜式形式，写出切线的方程，其步骤为：(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y-y0＝f′(x0)(x-x0)．4．求曲线的切线方程需注意两点(1)当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(垂直于x轴此时导数不存在)时，不能用上述方法求切线的方程，可根据切线的定义直接得切线方程为x＝x0；(2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．注意：若在点(x0，f(x0))处切线l的倾斜角为π2，此时切线垂直于x轴，导数不存在，不能用上述方法求切线的方程，可根据切线的定义直接得切线方程为x＝x0.5.导数几何意义应用的三个方面导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝fx1－fx0x1－x0求解．【例1】已知曲线y＝13x3上一点P)38,2(，求：(1)点P处的切线的斜率；(2)点P处的切线方程．第5页共28页【变式1】已知：曲线215yxx上一点19(2,)2P，求：点P处的切线方程。【例2】求曲线3yx经过点(1,1)P的切线方程.【变式2】已知：函数3()3fxxx，经过点(2,2)作函数图象的切线，求：切线的方程。【变式3】已知直线l1为曲线y＝x2＋x-2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．【例3】1.函数f(x)＝lnx－2xx的图象在点(1，-2)处的切线方程为()A．2x-y-4＝0B．2x＋y＝0C．x-y-3＝0D．x＋y＋1＝02.曲线y＝e-2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为________．【变式4】1.与直线2x-y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是()A．2x-y＋3＝0B．2x-y-3＝0C．2x-y＋1＝0D．2x-y-1＝02.已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，-1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为()A．x＋y-1＝0B．x-y-1＝0第6页共28页C．x＋y＋1＝0D．x-y＋1＝0【例3】已知函数f(x)的导函数f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝()A．-eB．-1C．1D．e【变式5】设曲线y＝ax-ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0B．1C．2D．3【变式6】若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y＋1＝0，则点P的坐标为________．【例4】若对于曲线f(x)＝-ex-x(e为自然对数的底数)的任意切线l1，总存在曲线g(x)＝ax＋2cosx的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为________．【例5】已知函数f(x)＝ax3＋3x2-6ax-11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(-1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．【变式7】已知aR，函数f(x)=x3−3x2+3ax−3a+3，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程.【变式8】已知函数2()10fxaxa，3()gxxbx.若曲线()yfx与曲线()ygx在它们的交点1,c处具有公共切线，求a，b的值.第7页共28页第三节导数的应用利用导数研究函数的单调性利用导数判断函数单调性的基本方法设函数()yfx在区间（a，b）内可导，（1）如果恒有'()0fx，则函数()fx在（a，b）内为增函数；（2）如果恒有'()0fx，则函数()fx在（a，b）内为减函数；（3）如果恒有'()0fx，则函数()fx在（a，b）内为常数函数。要点诠释：（1）若函数()fx在区间（a，b）内单调递增，则'()0fx，若函数()fx在（a，b）内单调递减，则'()0fx。（2）'()0fx或'()0fx恒成立，求参数值的范围的方法——分离参数法：()agx或()agx。题型一求函数的单调区间【例1】思维辨析(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．()(3)f(x)在(a，b)上单调递增与(a，b)是f(x)的单调递增区间是相同的说法．()【例2】确定函数32()267fxxx的单调区间.第8页共28页【例3】()sin(1cos)(02)fxxxx【变式1】求下列函数的单调区间：（1）32()2fxxxx（2）2()32ln(0)fxxxx【例4】已知函数1ln)1()(2axxaxf，求函数()fx的单调区间并说明其单调性。【变式2】求函数3yxax（a∈R）的单调区间。第9页共28页【变式3】()xxfxaa（a＞0且a≠1）。题型二函数单调性的证明【例5】当0x时，求证：函数21()ln2fxxxx是单调递减函数.【变式4】当0x时，求证：函数21()ln(1)2fxxxx是单调递减函数.题型三含参的函数单调性的讨论（高考重要考点）【例6】2ln)(2xxaxxaxf，求函数的单调性.第10页共28页【变式5】求函数)(11ln)(Raxaaxxxf的单调性.【变式6】（2015•西宁校级模拟）已知函数)0(221ln)(2axaxxxf，若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围.【例7】（2015•宿州三模）已知xxxfln)(，2)(23xaxxxgg（x）=x3+ax2-x+2．如果函数g（x）的单调递减区间为(31，1)，求函数g（x）的解析式.第11页共28页【变式7】已知实数a＞0，函数f(x)＝a(x-2)2＋2lnx.(1)当a＝1时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间[1，4]上是增函数，求实数a的取值范围．【变式8】已知函数323()31fxaxxa,讨论函数()fx的单调性.题型四函数与导函数的图像【例8】设()fx是函数()fx的导函数，将()yfx和()yfx的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）yxOyxOyxOyxOA．B．C．D．第12页共28页【例9】已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是()【变式9】(2014·北京联考)如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下面判断正确的是()A．在(-2，1)上f(x)是增函数B．在(1，3)上f(x)是减函数C．当x＝2时，f(x)取极大值D．当x＝4时，f(x)取极大值【变式10】设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象有可能是()1.函数的极值一般地，设函数)(xf在点0xx及其附近有定义，（1）若对于0x附近的所有点，都有)()(0xfxf，则)(0xf是函数)(xf的一个极大值，记作)(0xfy极大值；第13页共28页（2）若对0x附近的所有点，都有)()(0xfxf，则)(0xf是函数)(xf的一个极小值，记作)(0xfy极小值.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值