函数的奇偶性题型及解析

-1-函数的奇偶性题型及解析1.给定四个函数；；y=x3+1；其中是奇函数的有几个？分析：利用奇函数的定义，对每个函数进行验证，可得结论．解：∵，∴是奇函数；∵定义域不关于原点对称，∴不是奇函数；∵（﹣x）3+1≠﹣（x3+1），∴不是奇函数；函数的定义域为{x|x≠0}，=，∴是奇函数综上，奇函数的个数为2个2.若一个函数图象的对称轴是y轴，则该函数称为偶函数．那么在下列四个函数：①y=2|x|；②y=6／x；③y=x2；④y=（x﹣1）2+2中，其中是偶函数的有几个？分析：对于y=2|x|分类讨论：当x＞0，则y=2x；当x＜0，则y=﹣2x，根据正比例函数的性质可判断y=2|x|的对称轴是y轴；根据反比例函数得到y=6／x关于直线y=x和y=﹣x对称；根据二次函数的性质得到y=x2的对称轴为y轴，y=（x﹣1）2+2的对称轴为直线x=1，然后根据新定义进行判断．解：y=2|x|，当x＞0，则y=2x；当x＜0，则y=﹣2x，所以y=2|x|的对称轴是y轴，该函数为偶函数；y=6／x关于直线y=x和y=﹣x对称，所以y=不是偶函数；y=x2的对称轴为y轴，所以y=x2为偶函数；y=（x﹣1）2+2的对称轴为直线x=1，所以y=（x﹣1）2+2不是偶函数，偶函数的个数为2个3.函数y=|x+3|﹣|3﹣x|是奇函数还是偶函数？分析：根据函数奇偶性的定义进行判断即可．解：∵f（﹣x）=|﹣x+3|﹣|3+x|=﹣（|x+3|﹣|3﹣x|）=﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数，4.如果函数y=x2﹣2ax+6是偶函数，求a的值分析：运用偶函数的定义得出f（﹣x）=f（x），即x2+2ax+6=x2﹣2ax+6恒成立，得出2a=﹣2a，即可解：∵函数y=x2﹣2ax+6是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即x2+2ax+6=x2﹣2ax+6恒成立，2a=﹣2a，解得a=05.①已知函数f（x）=ax2+2x是奇函数，求实数分析：由奇函数定义入手寻找特殊值是解决此问题的最简解法解：由奇函数定义有f（﹣x）=﹣f（x），则f（﹣1）=a﹣2=﹣f（1）=﹣（a+2），解得a=0②如果函数f（x）=+a是奇函数，求a的值分析：函数的定义域为R，利用奇函数f（0）=0，得到a解：因为函数的定义域为R，并且函数是奇函数，所以f（0）=0，即1220+a=0，解得a=-1；③已知f（x）=121x+a是奇函数，求a的值及函数值域分析：本题考察函数奇偶性的性质，由题意可得f（﹣1）+f（1）=0，可得a值，再由定义域和反比例函数以及不等式的性质可得函数的值域解：由2x﹣1=≠0可得x≠0，可得函数的定义域为{x|x≠0}，∵f（x）=121x+a是奇函数，∴f（﹣1）+f（1）=0，∴1211+a+1211+a=0，解得a=，∴f（x）=121x+，∵x≠0，∴2x＞0且2x≠1，∴2x﹣1＞﹣1且2x﹣1≠0，∴121x＞0或121x＜﹣1，∴121x+＞或121x+＜﹣，∴函数的值域为（-∞，-）∪（，+∞）④函数y=f（x）是定义在[2a+1，a+5]上的偶函数，求a的值分析：由偶函数的定义域关于原点对称得，2a+1+a+5=0，再求出a的值解：∵偶函数的定义域关于原点对称，∴2a+1+a+5=0，解得a=﹣2，-2-6.①已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0时，f（x）=x2+ax（a∈R），f（2）=6，求a分析：先根据函数的奇偶性求出f（﹣2）的值，然后将x=﹣2代入小于0的解析式，建立等量关系，解之即可．解：∵函数y=f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），而f（2）=6，则f（﹣2）=﹣f（2）=﹣6，将x=﹣2代入小于0的解析式得f（﹣2）=4﹣2a=﹣6，解得a=5②已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2x，求f（﹣2）的值．分析：首先，根据函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，得到f（﹣2）=f（2）=22﹣2×2=0，从而得到结果．解：∵函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（-2）=f（2）=22﹣2×2=0，∴f（-2）=0，∴f（-2）的值07.①已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，f（x）=3x2﹣5x+2，求f（x）在R上的表达式．分析：设x＜0，则﹣x＞0．利用当x＞0时，f（x）=3x2﹣5x+2，可得f（﹣x）=3x2+5x+2．再利用奇函数的性质即可得出解：设x＜0，则-x＞0．∵当x＞0时，f（x）=3x2﹣5x+2，∴f（﹣x）=3x2+5x+2．∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣3x2﹣5x﹣2，又f（0）=0．∴f（x）=025300025322xxxxxxx②已知函数y=f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x﹣1，求f（x﹣1）＜0的解集分析：由函数y=f（x）为偶函数可得f（﹣x）=f（x），由x≥0时，f（x）=x﹣1可得x＜0，f（x）=﹣x﹣1即f（x）=，而f（x﹣1）＜0时，有﹣1＜x﹣1＜1，解不等式可得解：由函数y=f（x）为偶函数可得f（﹣x）=f（x），∵x≥0时，f（x）=x﹣1，设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）=﹣x﹣1=f（x），f（x）=，当f（x﹣1）＜0时，有﹣1＜x﹣1＜1，∴0＜x＜28.（1）定义在[﹣1，1]上的奇函数y=f（x）是增函数，若f（a﹣1）+f（4a﹣5）＞0，求a的取值范围（2）定义在[﹣2，2]上的偶函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，若f（1﹣m）＜f（m），求m的取值范围分析：（1）利用函数的奇偶性可把不等式f（a﹣1）+f（4a﹣5）＞0化为f（a﹣1）＞f（5﹣4a），根据单调性可去掉符号“f”，考虑到定义域即可求出a的范围；（2）利用偶函数的性质，可得f（|1﹣m|）＜f（|m|），根据定义在[﹣2，2]上的偶函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，可得不等式组，即可得出结论．解：（1）∵函数y=f（x）是奇函数，f（a﹣1）+f（4a﹣5）＞0，∴f（a﹣1）＞f（5﹣4a），∵定义在[﹣1，1]上的函数y=f（x）是增函数，∴，∴；（2）∵偶函数f（x），f（1﹣m）＜f（m），∴f（|1﹣m|）＜f（|m|），∵定义在[﹣2，2]上的偶函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，∴，∴9.（1）已知定义在[﹣2，2]上的奇函数，f（x）在区间[0，2]上单调递减，若f（m）+f（m﹣1）＞0，求实数m的取值范围；（2）已知定义在[﹣2，2]上的偶函数，f（x）在区间[0，2]上单调递减，若f（1﹣m）＜f（m），求实数m的取值范围．分析：（1）根据定义域得出m的范围为﹣1≤m≤2，由奇函数的性质，结合单调性可知m＜1﹣m，得出m的范围；（2）根据定义域得出m的范围为﹣1≤m≤2，由偶函数的性质可知距离y轴越进，函数值越大，得出|1﹣m|＞|m|，进而求出m的范围．解：（1）定义在[﹣2，2]上的奇函数，∴﹣1≤m≤2，∵f（m）+f（m﹣1）＞0，∴f（m）＞﹣f（m﹣1）=f（1﹣m），∴m＜1﹣m，∴m＜，∴﹣1≤m＜（2）已知定义在[﹣2，2]上的偶函数，f（x）在区间[0，2]上单调递减，∴﹣1≤m≤2，∵f（1﹣m）＜f（m），∴|1﹣m|＞|m|，∴m＜，∴﹣1≤m＜-3-10.函数y=﹣x2+2ax+1在﹣1≤x≤2上的最大值是4，求a的值分析：二次函数y=﹣x2+2ax+1的对称轴方程为x=a，分对称轴在闭区间的左侧、中间、右侧三种情况，分别求得函数的最大值．解：二次函数y=﹣x2+2ax+1的对称轴方程为x=a，当a＜﹣1时，函数y=﹣x2+2ax+1在区间[﹣1，2]上单调递减，故函数的最大值为f（﹣1）=﹣1﹣2a+1=4，解得a=﹣2；当﹣1≤a≤2时，函数的最大值为f（a）=a2+1=4，解得a=；当a≥2时，函数y=﹣x2+2ax+1在区间[﹣1，2]上单调递增，故函数的最大值为f（2）=﹣4+4a+1=4，解得a=，舍去．综合知：a的值为﹣2或．11.已知函数f（x）的定义域是一切实数，对定义域内的任意x1，x2，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞0时f（x）＞0．（1）试判断f（x）的奇偶性；（2）试判断f（x）的单调性，并证明．分析：（1）利用赋值法先求出f（0）=0，然后根据函数奇偶性的定义进行判断即可得到f（x）的奇偶性；（2）结合函数单调性的定义即可判断f（x）的单调性．解：（1）令x1=0，x2=0，则f（0）=f（0）+f（0），解得f（0）=0，令x1=x，x2=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，即f（﹣x）=﹣f（x），则函数为奇函数．（2）函数在定义域上为增函数．证明：当x1＜x2时，则x2﹣x1＞0，此时f（x2﹣x1）＞0则f（x2）﹣f（x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2﹣x1）＞0，可得f（x2）＞f（x1）由此，得到y=f（x）是R上的增函数12.已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1、x2，都有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1，（1）求证：f（x）是偶函数；（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数；分析：（1）先令x1=x2=1，得到f（1）=0，再令x1=x2=﹣1，得f（﹣1）=0．然后用主条件证明f（﹣x）=f（﹣1•x）=f（﹣1）+f（x）=f（x）得证．（2）先任取两个变量，界定大小，再作差变形看符号．解：（1）证明：令x1=x2=1，得f（1）=2f（1），∴f（1）=0．令x1=x2=﹣1，得f（﹣1）=0．∴f（﹣x）=f（﹣1•x）=f（﹣1）+f（x）=f（x），∴f（x）是偶函数（2）证明：设x2＞x1＞0，则f（x2）﹣f（x1）=f（x1•）﹣f（x1）=f（x1）+f（）﹣f（x1）=f（）．∵x2＞x1＞0，∴＞1．∴f（）＞0，即f（x2）﹣f（x1）＞0．∴f（x2）＞f（x1）．∴f（x）在（0，+∞）上是增函数13.已知定义域为x∈R|x≠0的函数f（x）满足；①对于f（x）定义域内的任意实数x，都有f（﹣x）+f（x）=0；②当x＞0时，f（x）=x2﹣2．（Ⅰ）求f（x）定义域上的解析式；（Ⅱ）解不等式：f（x）＜x．分析：（I）根据条件①变形，得到f（x）在定义域内是奇函数，设x小于0，得到﹣x大于0，代入②中f（x）的解析式中化简后即可得到x小于0时f（x）的解析式，综上，得到f（x）在x大于0和小于0上的分段函数解析式；（II）当x大于0时和小于0时，把（I）得到的相应的解析式代入不等式中，分别求出相应的解集，然后求出两解集的并集即为原不等式的解集解：（I）∵对于f（x）定义域内的任意实数x，都有f（﹣x）+f（x）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）在其定义域为{x∈R|x≠0}内是奇函数，∵当x＞0时，f（x）=x2﹣2，设x＜0，所以﹣x＞0，∴f（﹣x）=﹣f（x）=x2﹣2，即f（x）=2﹣x2，则；（II）∵当x＞0时，x2﹣2＜x，化简得（x﹣2）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜2，所以不等式的解集为0＜x＜2；当x＜0时，2﹣x2＜x，化简得：（x﹣1）（x+2）＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，所以不等式的解集为x＜﹣2，综上，不等式f（x）＜x的解集为{x|0＜x＜2或x＜﹣2}14.已知定义域为R的函数f（x）满足：①f（x+y）=f（x）•f（y）对任何实数x、y都成立；②存在实数x1、x2使，f（x1）≠f（x2），求证：（1）f（0）=1；（2）f（x）＞0．分析：（1）令x=y=0，求出f（0），注意条件②的运用，舍去一个；（2）将x，y均换成，得到f（x）=f2（）即f（x）≥0，注意运用条件②，舍去f（x）=0，即可得证．证明：（1）令x=y=0则f（0）=f2（0），∴f（0）=0或f（0）=