19考研数学模考一答案及解析

考研数学终极预测题一、选择题(1)A(2)C(3)D【解析】使用排除法,取fx()=x.f'x()=1A、C错误;取fx()=x2,则f'x()=2x当limx→-∞f'x()=-∞时,有limx→-∞fx()=+∞,B错误;故选D.(4)(数一,数三)D【解析】当1p2时,∑∞n=1-1()nnp绝对收敛,正项级数∑∞n=11n3-p收敛,故原级数绝对收敛.(数二)B【解析】因fx()连续,若fx()为奇函数,则fx()的任一原函数为偶函数;若fx()为偶函数则fx()仅有一个原函数∫x0ft()dt为奇函数.故①为偶,②为奇,③为奇,④为偶.(5)(数一,数三)C.【分析】本题极为重要,涉及如下命题:命题1:n+1个n维向量α1,α2,…,αn,αn+1线性相关.命题2:α1,α2,…,αm线性无关,α1,α2,…,αm,β线性相关,则β可由α1,α2,…,αm线性表示,且表示式唯一.【解析】由于α1,α2,α3,β是4个三维列向量,由命题1,知α1,α2,α3,β线性相关,倘若α1,α2,α3线性无关,于是由命题2,β可由α1,α2,α3线性表示,故④正确.又④的逆否命题就是①,①也正确.所以选C.另外,若取β=001æèçççöø÷÷÷,α1=100æèçççöø÷÷÷,α2=200æèçççöø÷÷÷,α3=010æèçççöø÷÷÷,β当然不能由α1,α2,α3线性表示,然而α1,α2,α3线性相关.排除②.若取β=001æèçççöø÷÷÷,α1=100æèçççöø÷÷÷,α2=200æèçççöø÷÷÷,α3=001æèçççöø÷÷÷,α1,α2,α3线性相关,但β可由α1,α2,α3线性表示,排除③.(数二)C【解析】若p1时,∫10dxxlnx()p收敛,p≥1时,发散∫+¥0dxxln2x=∫10dxxln2x+∫+¥1dxxln2xp=21()故∫+¥0dxxln2x发散,从而选C.(6)(数一,数三)D【解析】A的秩等于2,A的特征值为-3,0,3,所以对应的xTAx的正、负惯性指数均为1.对选项A,1-21-24-21-21æèçççöø÷÷÷的秩为1,与A的秩不相等,故与A不可能等价,排除.对选项B,2-1-1-12-1-1-12æèçççöø÷÷÷的秩为2,特征值为0,3,3,其对应二次型的正惯性指数为2,负惯性指数为0,与xTAx的正、负惯性指数不同,因而2-1-1-12-1-1-12æèçççöø÷÷÷与A不合同,排除.对选项C,30000000-3æèçççöø÷÷÷的秩等于2,特征值为-3,0,3,其对应二次型正、负惯性指数均为1.故30000000-3æèçççöø÷÷÷与A等价,合同且相似,排除.所以选D.事实上D中001000100æèçççöø÷÷÷的秩等于2,特征值为-1,0,1,其对应二次型正、负惯性指数均为1.故001000100æèçççöø÷÷÷与A等价,合同但不相似.(数二)C【解析】令u=x2-y2,z=φu(),∂z∂x=∂φ∂u·∂u∂x=2xφ'u(),∂z∂y=∂φ∂u·∂u∂y=-2yφ'u(),故y∂z∂x+x∂z∂y=0.(7)(数一,数三)B.【解析】E1n∑ni=1Xiæèçöø÷=0,D1n∑ni=1Xiæèçöø÷=13,则利用中心极限定理得到limn→∞P1n∑ni=1Xi≤1{}=limn→∞P1n∑ni=1Xi-013≤1-013ìîíïïïïüþýïïïï=Φ(3).(数二)同第5题数一,数三(8)(数一,数三)C.【解析】X~B(1,12),即PX=0{}=PX=1{}=12.将事件X=0和事件X=1看成一完备事件组,用全概率公式P{X+Y≥1}=P{X=0}P{X+Y≥1X=0}+P{X=1}P{X+Y≥1X=1}=12P{Y≥1X=0}+12P{1+Y≥1X=1}=12P{Y≥1}+12P{Y≥0}=12e-1+12=12(1+1e).(数二)D【解析】A的秩等于2,A的特征值为-3,0,3,所以对应的xTAx的正、负惯性指数均为1.对选项A,1-21-24-21-21æèçççöø÷÷÷的秩为1,与A的秩不相等,故与A不可能等价,排除.对选项B,2-1-1-12-1-1-12æèçççöø÷÷÷的秩为2,特征值为0,3,3,其对应二次型的正惯性指数为2,负惯性指数为0,与xTAx的正、负惯性指数不同,因而2-1-1-12-1-1-12æèçççöø÷÷÷与A不合同,排除.对选项C,30000000-3æèçççöø÷÷÷的秩等于2,特征值为-3,0,3,其对应二次型正、负惯性指数均为1.故30000000-3æèçççöø÷÷÷与A等价,合同且相似,排除.所以选D.事实上D中001000100æèçççöø÷÷÷的秩等于2,特征值为-1,0,1,其对应二次型正、负惯性指数均为1.故001000100æèçççöø÷÷÷与A等价,合同但不相似.二、填空题(9)-x8sin2x2æèçöø÷-14cotx2+C【解析】原式=14∫xdsinx2sin3x2æèçöø÷=-18∫xd1sin2x2æèçöø÷=-x8sin2x2æèçöø÷+18∫dxsin2x2æèçöø÷=-x8sin2x2æèçöø÷-14cotx2+C.(10)【解析】=∫10dx∫x0x2-y2dy=π4∫10x2dx=π12[此题利用了∫a0a2-x2dx=πa24](11)20172017!(12)(数一)0(数二)x+C()cosx【解析】由通解公式得y=e-∫tanxdx∫cosxe∫tanxdxdx+C()=x+C()cosx(数三)y=C+2tt-2().【解析】对应的齐次差分方程为yt+1-yt=0,其通解为yct()=C,设特解为y*t=2tAt+B()代入原方程,得A=1,B=-2,从而通解为y=C+2tt-2().(13)(数一,数三)27【解析】∵|A|=3,∴A*A=3E,ABA*A=2BA*A+9A-1A⇒AB-2B=3E⇒(A-2E)B=3E⇒|A-2E||B|=|3E|⇒|B|=27.(数二)y=-x-a【解析】由y=3at21+t3知,仅当t→-1时有y→∞,但当t→-1时,x→∞,故无垂直渐近线;因x→∞等价于t→-1limt→-1yx=limt→-1t=-1,limt→-1y--x()()=-a仅有一条渐近线y=-x-a.(14)【解析】P(XY)=∬xyf(x,y)dxdy=∫+∞-∞dx∫+∞x12π·10e-12(x210+y210)dy=12π·10∫+∞-∞e-12·x210dx∫+∞xe-12·y210dy=0.5(数二)同第13题,数一,数三三、解答题(15)(数一)【解析】原积分=∫e-sinx2sinxcosxsin2π4-x2æèçöø÷[]2dx=∫e-sinx2sinxcosx1-cosπ2-xæèçöø÷2éëêêùûúú2dx=8∫e-sinx-sinx1-sinx()2d-sinx()令u=-sinx,则原积分=8∫euu1+u()2du=8∫eu11+u-11+u()2æèçöø÷du=8∫eudu1+u-∫eudu1+u()2[]=8∫eudu1+u+eu1+u-∫eudu1+u[]=8eu1+u+C=8e-sinx1-sinx+C.(数二,数三)【解析】∵f(x)在x=0附近一阶连续可导由拉格朗日中值定理得f(x)-f(ln(1+x))=f'(ξ)[x-ln(1+x)],ξ在x与ln(1+x)之间,∴limx→0f(x)-f(ln(1+x))x3=limx→0f'(ξ)[x-ln(1+x)]x3=limx→0f'(ξ)·12x2x3=12limx→0f'(ξ)-f'(0)ξ-0·ξx[],ξ在x与ln(1+x)之间∴limx→0f(ξ)-f'(0)ξ-0=f″(0)limx→0ξx=1∴原极限=12f″(0).(16)(数一)【解析】(Ⅰ)fx()在a+b2处的一阶泰勒公式fx()=fa+b2æèçöø÷+f'a+b2æèçöø÷x-a+b2æèçöø÷+12!f″ξ()x-a+b2æèçöø÷2,ξ在a+b2与x之间.(Ⅱ)由(Ⅰ)得fb()=fa+b2æèçöø÷+f'a+b2æèçöø÷b-a+b2æèçöø÷+12f″ξ1()b-a+b2æèçöø÷2A()fa()=fa+b2æèçöø÷+f'a+b2æèçöø÷a-a+b2æèçöø÷+12f″ξ2()a-a+b2æèçöø÷2(B)两式相加得fa()+fb()=2fa+b2æèçöø÷+18b-a()2f″ξ1()+f″ξ2()()又f″x()在a,b()内连续,所以f″x()在ξ1,ξ2[]上连续,因而有最大值M最小值m,有m≤f″ξ1()≤M,m≤f″ξ2()≤M由介值定理存在ξ∈ξ1,ξ2()⊂a,b()使f″ξ()=12f″ξ1()+f″ξ2()[]即fb()+fa()-2fa+b2æèçöø÷=b-a()24f'ξ(),ξ∈a,b()(Ⅲ)A()-B()得fb()-fa()=18b-a()2f″ξ1()-f″ξ2()()所以fb()-fa()≤18b-a()2f″ξ1()+f″ξ2()(),再利用f″x()在ξ1,ξ2[]连续得∃η∈η1,η2()⊂a,b()使f″η()=12f″ξ1()+f″ξ2()()所以fb()-fa()≤14b-a()2f″η().(数二,数三)【证明】记x0=x1+x22,fx1(),fx2()在x0处的一阶泰勒公式分别为:fx1()=fx0()+f'x0()x1-x0()+12f″ξ1()x1-x0()21()ξ1介于x1与x0之间fx2()=fx0()+f'x0()x2-x0()+12f″ξ2()x2-x0()22()ξ2介于x2与x0之间1()+2()⇒fx1()+fx2()-2fx0()=12f″ξ1()x1-x0()2+12f″ξ2()x2-x0()2=12f″ξ1()+f″ξ2()[]x2-x12æèçöø÷2由于f″x()0,所以有fx1()+fx2()-2fx0()≤0即fx1+x22æèçöø÷≥fx1()+fx2()2.(17)(数一)【证明】由u=x,v=1x-1y,得x=u,y=u1+uv故w=1z-1x便是u,v的复合函数对u求偏导,有∂w∂u=-1z2∂z∂x·∂x∂u+∂z∂y·∂y∂uæèçöø÷+1u2=-1z2∂z∂x+∂z∂y·11+uv()2æèçöø÷+1u2=-1z2x2x2∂z∂x+∂z∂y·x21+uv()2æèçöø÷+1u2=-1z2x2x2∂z∂x+y2∂z∂yæèçöø÷+1u2=-1x2+1u2=0.(数二,数三)【解析】令D1=x2+y2≤4}{,D2=x+1()2+y2≤1}{有对称性可知:∬Dydσ=0.∬D(x2+y2+y)dσ=∬Dx2+y2dσ=∬D1x2+y2dσ-∬D2x2+y2dσ=∫2π0dθ∫20ρ2dρ-∫3π2π2dθ∫-2cosθ0ρ2dρ=163π-329=1693π-2().(18)(数一)【解析】(Ⅰ)由an=∫π40tannxdx=∫π40tann-2x(secx2-1)dx=∫π40tann-2xdtanx-an-2=tann-1xn-1π40-an-2=1n-1-an-2∴an+an-2=1n-1∴an+an+2=1n+1∴∑∞n=11n(an+an+2)=∑∞n=11n1n+1=limn→∞∑nk=11k(k+1)=limn→∞1-1n+1æèçöø÷=1.(Ⅱ)∵an=∫π40tannxdx0∴an-20∴an1n-1∴0annλ1nλ(n-1)而当λ0时∑∞n=11nλ(n-1)收敛由比较判别法知∑∞n=1annλ收敛.(数二)【证明】由u=x,v=1x-1y,得x=u,y=u1+uv故w=1z-1x便是u,v的复合函数对u求偏导,有∂w∂u=-1z2∂z∂x·∂x∂u+∂z∂y·∂y∂uæèçöø÷+1u2=-1z2∂z∂x+∂z∂y·