《数值计算方法》试题集及答案(1-6)-2

《计算方法》期中复习试题一、填空题：1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(fff，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得31_________)(dxxf,用三点式求得)1(f。答案：2.367，0.252、1)3(,2)2(,1)1(fff，则过这三点的二次插值多项式中2x的系数为，拉格朗日插值多项式为。答案：-1，)2)(1(21)3)(1(2)3)(2(21)(2xxxxxxxL3、近似值*0.231x关于真值229.0x有(2)位有效数字；4、设)(xf可微,求方程)(xfx的牛顿迭代格式是()；答案)(1)(1nnnnnxfxfxxx5、对1)(3xxxf,差商]3,2,1,0[f(1),]4,3,2,1,0[f(0)；6、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；7、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为(12nab)；8、已知f(1)＝2，f(2)＝3，f(4)＝5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为(0.15)；11、两点式高斯型求积公式10d)(xxf≈(10)]3213()3213([21d)(ffxxf)，代数精度为(5)；12、为了使计算32)1(6)1(41310xxxy的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10xtttty，为了减少舍入误差，应将表达式19992001改写为199920012。13、用二分法求方程01)(3xxxf在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间为0.5，1,进行两步后根的所在区间为0.5，0.75。14、计算积分15.0dxx,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268，用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309，梯形公式的代数精度为1，辛卜生公式的代数精度为3。15、设46)2(,16)1(,0)0(fff,则)(1xl)2()(1xxxl，)(xf的二次牛顿插值多项式为)1(716)(2xxxxN。16、求积公式baknkkxfAxxf)(d)(0的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有(12n)次代数精度。17、已知f(1)=1,f(3)=5,f(5)=-3,用辛普生求积公式求51d)(xxf≈(12)。18、设f(1)=1，f(2)=2，f(3)=0，用三点式求)1(f(2.5)。19、如果用二分法求方程043xx在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（10）次。20、已知31)1()1()1(2110)(233xcxbxaxxxxS是三次样条函数，则a=(3)，b=（3），c=（1）。21、)(,),(),(10xlxlxln是以整数点nxxx,,,10为节点的Lagrange插值基函数，则nkkxl0)((1)，nkkjkxlx0)((jx)，当2n时)()3(204xlxxkknkk(324xx)。22、区间ba,上的三次样条插值函数)(xS在ba,上具有直到_____2_____阶的连续导数。23、改变函数fxxx()1(x1)的形式，使计算结果较精确xxxf11。24、若用二分法求方程0xf在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分10次。25、设21,10,2233xcbxaxxxxxS是3次样条函数，则a=3,b=-3,c=1。26、若用复化梯形公式计算10dxex，要求误差不超过610，利用余项公式估计，至少用477个求积节点。27、若4321()fxxx，则差商2481632[,,,,]f3。28、数值积分公式11218019()[()()()]fxdxfff的代数精度为2。选择题1、三点的高斯求积公式的代数精度为(B)。A．2B．5C．3D．42、舍入误差是(A)产生的误差。A.只取有限位数B．模型准确值与用数值方法求得的准确值C．观察与测量D．数学模型准确值与实际值3、3.141580是π的有(B)位有效数字的近似值。A．6B．5C．4D．74、用1+x近似表示ex所产生的误差是(C)误差。A．模型B．观测C．截断D．舍入5、用1+3x近似表示31x所产生的误差是(D)误差。A．舍入B．观测C．模型D．截断6、-324．7500是舍入得到的近似值，它有(C)位有效数字。A．5B．6C．7D．87、设f(-1)=1,f(0)=3,f(2)=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A)。A．–0．5B．0．5C．2D．-28、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C)。A．3B．4C．5D．29、(D)的3位有效数字是0.236×102。(A)0.0023549×103(B)2354.82×10－2(C)235.418(D)235.54×10－110、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=(x)，则f(x)=0的根是(B)。(A)y=(x)与x轴交点的横坐标(B)y=x与y=(x)交点的横坐标(C)y=x与x轴的交点的横坐标(D)y=x与y=(x)的交点11、拉格朗日插值多项式的余项是(B),牛顿插值多项式的余项是(C)。(A)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，(B))!1()()()()()1(nfxPxfxRnnn(C)f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)，(D))()!1()()()()(1)1(xnfxPxfxRnnnn12、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足(A),则它的解数列{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。0)()()D(0)()()C(0)()()B(0)()()A(0000xfxfxfxfxfxfxfxf13、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A)。(A)11:,1112kkxxxx迭代公式(B)21211:,11kkxxxx迭代公式(C)3/12123)1(:,1kkxxxx迭代公式(D)11:,122123kkkkxxxxxx迭代公式14、在牛顿-柯特斯求积公式：baniinixfCabdxxf0)()()()(中，当系数)(niC是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。（1）8n，（2）7n，（3）10n，（4）6n，23、有下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是（）。（1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次15、取31732.计算431()x，下列方法中哪种最好？（）(A)28163；(B)2423()；(C)216423()；(D)41631()。26、已知330221224()()()xxSxxaxbx是三次样条函数，则,ab的值为()(A)6，6；(B)6，8；(C)8，6；(D)8，8。16、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是（）ix１1.5２2.5３3.5()ifx-10.52.55.08.011.5(A)5；(B)4；(C)3；(D)2。17、形如112233()()()()bafxdxAfxAfxAfx的高斯（Gauss）型求积公式的代数精度为（）(A)9；(B)7；(C)5；(D)3。18、计算3的Newton迭代格式为()(A)132kkkxxx；(B)1322kkkxxx；(C)122kkkxxx；(D)133kkkxxx。19、用二分法求方程324100xx在区间12[,]内的实根，要求误差限为31102，则对分次数至少为()(A)10；(B)12；(C)8；(D)9。20、设()ilx是以019(,,,)kxkk为节点的Lagrange插值基函数，则90()ikklk()(A)x；（B）k；（C）i；（D）1。33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有()次代数精度(A)5；(B)4；(C)6；(D)3。21、已知330221224()()()xxSxxaxbx是三次样条函数，则,ab的值为()(A)6，6；(B)6，8；(C)8，6；(D)8，8。35、已知方程3250xx在2x附近有根，下列迭代格式中在02x不收敛的是()(A)3125kkxx；(B)152kkxx；(C)315kkkxxx；(D)3122532kkkxxx。22、由下列数据x01234()fx1243-5确定的唯一插值多项式的次数为()(A)4；(B)2；(C)1；(D)3。23、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为()(A)8；(B)9；(C)10；(D)11。三、是非题（认为正确的在后面的括弧中打，否则打）1、已知观察值)210()(miyxii，，，，，,用最小二乘法求n次拟合多项式)(xPn时，)(xPn的次数n可以任意取。()2、用1-22x近似表示cosx产生舍入误差。()3、))(())((210120xxxxxxxx表示在节点x1的二次(拉格朗日)插值基函数。()4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。()5、矩阵A=521352113具有严格对角占优。()四、计算题：1、求A、B使求积公式11)]21()21([)]1()1([)(ffBffAdxxf的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求211dxxI(保留四位小数)。答案：2,,1)(xxxf是精确成立，即32212222BABA得98,91BA求积公式为)]21()21([98)]1()1([91)(11ffffdxxf当3)(xxf时，公式显然精确成立；当4)(xxf时，左=52，右=31。所以代数精度为3。69286.014097]321132/11[98]311311[91311113221dttdxxxt2、已知ix1345)(ixf2654分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(xf的三次插值多项式)(3xP，并求)2(f的近似值（保留四位小数）。答案：)53)(43)(13()5)(4)(1(6)51)(41)(31()5)(4)(3(2)(3xxxxxxxL)45)(35)(15()4)(3)(1(4)54)(34)(14()5)(3)(1(5xxxxxx差商表为ixiy一阶均差二阶均差三阶均差1236245-1-154-1041)4)(3)(1(41)3)(1()1(22)()(33xxxxxxxNxP5.5)2()2(3Pf5、已知ix-2-1012)(ixf42135求)(xf的二次拟合曲线)(2xp，并求)0(f的近似值。答案：解：iixiy2ix3ix4ixiiyxiiyx20-244-816-8161-121-11-2220100000313111334254816102001510034341正规方程组为4134103101510520120aaaaa1411,103,710210aaa22