圆心角和圆周角

1课题圆心角和圆周角授课日期及时段教学目的1、理解圆心角的概念，并掌握圆心角定理。2、掌握圆心角定理的逆定理这一圆的性质。3、理解圆周角的概念及相关性质，并能运用相关性质解决有关问题。教学内容一、课前检测1、下列说法不正确的是（C)A．过一点可作无数个圆，那是因为圆心不确定，半径也不确定B．过两个点可以画无数个圆，圆心在这两点连线段的中垂线上C．过不在同一直线上的三个点只能画一个圆，圆心是这三点构成的三角形的三内角平分线的交点，叫做内心D．过不在同一直线上的三个点只能画一个圆，圆心是这三点构成的三角形的三边中垂线的交点，叫做外心2、在Rt△ABC中，AB=6,BC=8，那么这个三角形的外接圆直径是（D）A.5B.10C.5或4D.10或83、如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（C）A．2.5B．3.5C．4.5D．5.54、AB为⊙0的直径，C为⊙O上一点，过C作CD⊥AB于点D，延长CD至E，使DE=CD，那么点E的位置（B）A．在⊙0内B．在⊙0上C．在⊙0外D．不能确定5、如图，AB是半圆⊙O的直径，E是BC的中点，OE交弦BC于点D．已知BC=8cm,DE=2cm，则AB的长为10cm.6、填空：如图，在⊙O中，直径CD交弦AB（不是直径）于点E.(1)若CD⊥AB，则有AE=BE、AD⌒=BD⌒、AC⌒=BC⌒；(2)若AE=EB，则有CD⊥AB、AD⌒=BD⌒、AC⌒=BC⌒；(3)若AC⌒=BC⌒，则有CD⊥AB、AD⌒=BD⌒、AE=BE.二、知识梳理(一)圆心角把圆绕圆心旋转180º，所得的像与原图形重合，所以圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。由于圆上所有的点到圆心的距离都相等，所以把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的像都喝原图形重2ＯＢＡＣDP合。圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角。如图，∠NON'就是一个圆心角。圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等,所对弦的弦心距也相等。因为在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以我们把1º圆心角所对的弧叫做1º的弧。这样，nº的圆心角所对的弧就是nº的弧。圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，两个圆心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。（二）圆周角如右图，∠BAC的顶点在圆上，它的两边都和圆相交，像这样的角叫做圆周角。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。圆周角定理推论一：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90º的圆周角所对的弦是直径。圆周角定理推论二：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。三、重难点突破例1、圆心角定理的证明已知在同一个圆中，有两条弦，弦AB和弦CD，圆心角∠AOB和∠COD之间的关系，且∠AOB=∠COD求证：AB⌒=CD⌒，AB=CD证明：∵∠AOB=∠COD,OA=OB=OC=OD由圆的旋转不变性及图形的旋转变换知识得，图中两个阴影部分重合∴点A与点C重合，点B与点D重合。∴AB=CD，AB⌒与CD⌒重合。两条圆弧相等。记作:“AB⌒=CD⌒”.例2、如图，等边三角形ABC内接于⊙O,连结OA,OB,OC．[来源:学科网ZXXK]⑴∠AOB、∠COB、∠AOC分别为多少度？[来源:Zxxk.Com]⑵延长AO，分别交BC于点P，弧BC于点D,连结BD,CD.判断三角形ＯＢＤ是哪一种特殊三角形？⑶判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并说明理由。⑷若⊙O的半径为r,求等边ABC三角形的边长？⑸若等边三角形ABC的边长r,求⊙O的半径为多少？当r=32时求圆的半径?解：（1）∵AB=BC=CABDoOACAABBCCDDNN'3∴∠AOB=∠COB=∠AOC=120º(圆心角定理)（2）∠BOD=180º—∠AOB=180º—120º=60º，又∵OB=OD，∴△OBD为等边三角形.（3）∠COD=180º—∠AOC=180º—120º=60º.∴△OCD也为等边三角形∴OB=OC=OD=CD,即四边形BDCO是菱形.（4）由菱形的性质，可得1122OPODr,∴222213()22BPOBOPrrr，∴32232BCBPrr答：等边三角形ABC的边长为3r.（5）由（4）问中求得信息知，等边三角形边长和⊙O半径之比为3:1等边三角形ABC的边长为r,∴⊙O半径为1333rr.例3、⑴如图，顺次连结⊙O的两条直径AＣ和BD的端点，所得的四边形是什么特殊四边形？⑵如果要把直径为30cm的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？如果这根原木长15m，问锯出地木材地体积为多少立方米（树皮等损耗略去不计）？解：如左图，所得的四边形是矩形，理由如下：∵AC,BD是⊙O的两条直径，∴AO=OC=OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵AC=BD，∴□ABCD是矩形.设原木的横截面为⊙O，如右图，在⊙O中作两条互相垂直的直径AC和BD，依次连结AB,BC,CD,DA，则四边形ABCD是正方形.沿正方形ABCD的四条边，就可以锯出截面为正方形的木材。当原木的直径为30cm时，AO=BO=15cm，正方形ABCD的面积为211441515450()22AOBOcm224.5010()m所以木材的体积为234.5010150.675()mDAOCBBDAOC4答：锯出木材的体积为30.675m。例4、已知：∠BOC,∠BAC分别是同一条弧所对的圆心角和圆周角.求证：∠BAC=21∠BOC.分析由于圆心有在圆周角内、圆周角外和圆周角的一条边上三类情况，因此需分别对三类不同情况给出证明.证明：（1）当圆心O在圆周角∠BAC的一条边AB上时（如下左图）∵OA=OC,∴∠BAC=∠C,∵∠BOC是△OAC的外角，∴∠BOC=∠C+∠BAC=2∠BAC，∴∠BAC=21∠BOC.（2）当圆心O在圆周角∠BAC的内部时（如中图），连结AO并延长，交⊙O于点D.利用（1）的结果有∠BAD=21∠BOD,∠DAC=21∠DOC,∴∠BAD+∠DAC=21(∠BOD+∠DOC),即∠BAC=21∠BOC.（3）当圆心O在圆周角∠BAC的外部时（如右图），连结AO并延长交交⊙O于点D.利用（1）的结果有∠DAC=21∠DOC，∠DAB=21∠DOB，∴∠DAC-∠DAB==21（∠DOC-∠DOB），即∠BAC=21∠BOC.例5、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于点D，交AC于点E.求证：BD⌒=DE⌒分析要证明BD⌒=DE⌒，只要证明∠BAD=∠CAD，即AD是∠BAC的平分线，因此问题就化归为证明AD是BC边上的高，这可由AB是圆的直径得到.证明：连结AD.∵AB是圆的直径，点D在圆上，∴∠ADB是直角，5∴AD是△ABC的边BC上的高.∵△ABC是等腰三角形，∴AD也是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，∴BD⌒=DE⌒（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等）.例6、船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如下图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？分析：这是一个有实际背景的问题．由题意可知：“危险角”∠ACB实际上就是圆周角．船P与两个灯塔的夹角为∠α，P有可能在⊙O外，P有可能在⊙O内，当∠α＞∠C时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证．解：(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域内(即⊙O内)．理由是：连结BE，假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O外，则有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外．因此，船只能位于⊙O内．(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外(即⊙O外)．理由是：假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在∠O上；假设船在⊙O内，则有∠α＞∠AEB，即∠α＞∠C．这与∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内，因此，船只能位于⊙O外．四、课堂练习1、若⊙O的弦AB的长为8cm,O到AB的距离为43cm，则弦AB所对的圆心角为600.62、如图，在半径为2cm的⊙O中有长为23cm的弦AB，则弦AB所对的圆心角的度数为(C)A.600B.900C.1200D.15003、如图，在⊙O中，已知AB=BC，且AB⌒:AmC⌒=3:4求∠AOC的度数．解：∵AB=BC∴AB⌒=AC⌒又∵AB⌒:AmC⌒=3:4，∴AmC⌒=3600×3434=14404、如图，已知AB是⊙O的直径，M,N分别是AO,BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB．求证：.AC⌒=BD⌒证明：连接OC、OD，∵AB是⊙O的直径，∴AO=BO，∵M，N分别为AO、BO的中点，∴OM=ON，∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO=∠DNO=90°，∴△OCM与△ODN都是直角三角形，又∵OC=OD，∴△OCM≌△ODN（HL），∴∠AOC=∠BOD，∴AC⌒=BD⌒(圆心角定理)．5、如图，已知⊙O的半径为1，OA=2，OB=2，若直线AB与⊙O相切，求∠AOB的度数.解：设AB与⊙O相切于点C，连接OC，则OC⊥AB．∵OC=1，OB=2，∴∠BOC=45°．同理，∠AOC=60°．∴∠AOB=105°．76、如图，⊙O是ABC的外接圆，AOBC于F，D为AC的中点，E是BA延长线上一点，DAE114，则CAD等于（B）A.57°B.38°C.33°D.28.5°7、如图，已知AB是半圆O的直径，∠BAC=200,D是⌒AC上任意一点，则∠D的度数是（C）A.1200B.1100C.1000D.9008、如图，BC为半圆O的直径，AD⊥BC，垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E，交半圆O于点F，弦AC与BF交于点H，且AE=BE．求证：（1）AB⌒=AF⌒；（2）AH•BC=2AB•BE．证明：（1）∵AE=BE，∴∠BAD=∠ABE，∵BC是直径，AD⊥BC，∴∠ADB=∠BAC=90°，∴∠ABD+∠BAD=∠ABC+∠C=90°，∴∠BAD=∠C，∴∠C=∠ABF，∴AB⌒=AF⌒；（2）∵∠C=∠ABF，Rt△ABH∽Rt△ACB，∴AH：AB=BH：BC，即AH•BC=AB•BH，∵∠EAH+∠BAD=∠AHB+∠ABH=90°，∠BAD=∠ABE，∴∠EAH=∠AHB，∴AE=EH=BE=12BH，∴AH•BC=2AB•BE．五、课堂小结这节课主要学习了圆心角和圆周角的相关知识，对圆心角和圆周角的概念有了一个掌握，也学习了二者之间的关系，其中的重难点就是圆心角和圆周角定理以及它们的推论，学生在做题中遇到关于圆心角、圆周角的问题，要明确题中给出了哪些有用条件，观察符合定理、推论中的哪些条件组，进行联系然后解题。对圆心角及其推论、圆周角及其推论要分清，下面就是这些定理及推论的具体表述。圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．圆心角定理推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，两个圆心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。OAEDBCF8圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。推论一：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90º的圆周角所对的弦是直径。推论二：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等六、课后作业1.顶点在圆心的角叫