螺栓联接

螺栓是一种广泛用于联接、固定的重要零件。常规优化设计已在实际设计中得到了较广泛的应用,通常在进行螺栓设计时采用的方法很多,如优化设计法、有限元法、可靠性设计法、价值工程方法等,无论采用哪一种方法,人们自然都希望选定的方案既能较好的达到预先确定的目标,又能保证运行安全可靠。螺栓可靠性优化设计的基本思想是:要求螺栓在满足一定性能的条件下,使其可靠度达到最大,或者使结构或零部件达到最佳性能指标时,要求它的工作可靠度不低于某一规定水平。即在达到可靠性目标的同时,还采用优化方法降低成本,并提高其工作性能和承载能力[1]。本文以常用的螺栓组联接为例,研究把可靠性和优化设计方法有机结合起来,使用MATLAB的优化工具箱完成优化的计算方法。1建立螺栓可靠性优化设计数学模型紧螺栓联接的可靠性优化设计,即在一般优化设计的基础上再引入可靠度约束条件,其数学模型为:minf(x)s.t.R0-Ri(x)[0(i=1,2,)gj(x)[0(j=1,2,)式中,Ri(x)为疲劳强度可靠度;R0为设计要求可靠度;f(x)为目标函数;gj(x)为其它约束条件。111确定设计变量紧螺栓组联接的设计需确定螺栓直径d、个数n和长度L,而长度L需由具体的被联接件结构确定,故需计算确定的设计变量为d和n,即:x=[x1,x2]T=[n,d]T(1)112建立目标函数以螺栓组重量为优化目标,这样螺栓组联接尺寸小、成本低。W=nLπρd2/4fkg(2)式中:Q为螺栓材料比重,取Q=7800kg/m3;L可认为是常量。因此螺栓组的目标函数为:f(x)=6.126*10-6Lnd2(3)113确定约束函数螺栓组联接的设计,既要保证联接强度可靠性要求,又要保证密封性要求,还要使螺栓联接装拆方便,即有一定的扳手空间[2]。11311螺栓疲劳强度的可靠性约束[1]承受变载荷的螺栓组联接主要失效形式是螺栓杆部的疲劳断裂,应力幅和应力集中是导致螺栓疲劳断裂的主要原因。(1)螺栓极限应力幅均值为:σal=σ-1lKmKuɛ/Kσ(4)式中,σall为应力幅均值,Mpa;σ-1l为光滑试件的抗拉疲劳强度均值,Mpa;Km为制造工艺系数;Ku为螺纹牙受力不均系数;ɛ为尺寸系数;Kσ为螺纹应力集中系数。(2)螺栓极限应力幅的标准离差为:Sσal=Calσal(5)式中:Sσal为极限应力幅的标准离差,Mpa;Cal为极限应力幅变异系数。(3)螺栓工作应力幅均值的计算:当螺栓工作载荷在0~F之间变化,螺栓杆部拉力将在Fc~F0之间变化,故螺栓拉力的变化幅为:(F0~Fc)/2=C1/2(C1+C2)Fc12∗(c1+c2)∗F(6)式中:F0为单个螺栓拉力,N;Fc为单个螺栓预紧力,N;F为单个螺栓工作载荷,N;C1/(C1+C2)为螺栓相对刚度。相应的螺栓工作应力幅均值为:(7)式中:σa为螺栓工作应力幅均值,Mpa;d1为螺栓小径,mm;(4)螺栓工作应力幅标准离差为:Sσal=Calσa式中:Cal为工作应力幅变异系数。(5)根据文献[1],可靠性指数的计算:(9)若设计要求的可靠度为R,与此相关的可靠性指数为ZR,其值可由正态分布表查得,于是便得约束条件:(10)11312螺栓联接密封性约束为了保证联接接合面有可靠的密封性,一般要求螺栓间距t满足下列条件:当p1.6MPa时,t7d;于是得约束条件:g2(x)=PD/n-7d0(11)11313螺栓扳手空间约束为保证拆装螺栓的工艺性,应有足够的扳手空间,即螺栓间距不应小于3d,则得约束条件:g3(x)=3d-PD/n0(12)2优化方法及设计实例211优化方法MATLAB优化工具箱的应用包括:线性规划、求函数的最大值和最小值、多目标优化、约束优化、离散动态规划、非线性规划等[3]。由于机械优化设计多数是非线性约束最小优化问题,通常要将问题转换为更简单的子问题,常用的方法是通过构造惩罚函数等来将有约束的最优化问题转换为无约束最优化问题进行求解[4]。现在这些方法已经被更有效的基于K-T(Kuhn-Tucker)方程解的方法所取代。K-T方程是有约束最优化问题求解的必要条件,是非线性规划算法的基础,这些算法直接计算拉格朗日乘子,通过拟牛顿法更新过程,给K-T方程积累二阶信息,可以保证有约束拟牛顿法的线性收敛。因为在每次主要的迭代中都求解一次二次规划问题,故该方法称为序列二次规划法(SQP法)。MATLAB中SQP法的实现主要分三步,即:(1)拉格朗日函数Hessian矩阵的更新;(2)二次规划问题求解;(3)一维搜索和目标函数的计算。SQP法求解比惩罚函数法求解迭代次数要少、效率更高,同时还具有线性收敛性好、全局寻优性能高的优点。采用SQP法来求解非线性约束优化问题主要由fmincon函数来实现,该函数的常用语法:x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)[x,fva,lexitflag,output]=fmincon(...)式中:fun为目标函数的M文件;x0为给定的初始值;A、b分别为线性不等式约束的系数,以矩阵方式输入;Aeq、Beq分别为线性等式约束的系数;1b、ub为设计变量的下界和上界;nonlcon用于计算非线性不等式约束c(x)[0和等式约束ceq(x)=0,当对应的函数采用M文件表示,即nonlcon=.mycon.,则M文件mycon.m具有下面的形式:function[c,ceq]=mycon(x)c=,(计算x的非线性不等式)ceq=,(计算x的非线性等式)x为设计变量的返回值;fval为目标函数最优值;exitflag为迭代终止条件;output为运行详细结果。212设计实例w图紧固螺栓联接示意图如图1所示的压力容器的螺栓联接,已知被联接件厚E=H=20mm,气缸内径D1=500mm,螺栓分布圆直径D=650mm,缸内压力P=0~1.6MPa,最大压力波动偏差?15%,要求联接可靠度R0.999。要求选择紧固螺栓尺寸及个数。21211确定螺栓优化数学模型根据文献[1],确定以下参数:螺栓材料选用45钢,强度为6.6级,σ-1l=230Mpa,ɛ=0.8,Km=1.25,Ku=1,kσ=3.9,Cal=0.08,C1/(C1+C2)=0.8,d1=0.85d,CRa=0.05,ZR=3.091,初选螺栓长度L=70mm。每个螺栓的工作载荷为:F=πD12Pmax/4n把上述已知数据代入,根据式(4)~(12)得:σal=58.974MpaSσal=4.718Mpaσa=221453/(nd2)MpaSσal=11072.65/(nd2)Mpa优化数学模型为:minf(x1,x2)=4.288*10-4x1x22g1(x)=3.091-((58.974-221453)/(x1x22))/√4.7182+11072.652(x1x22)20g2(x)=650π-7x1x20g3(x)=3x1x2-650π021212模型的MATLAB求解将f(x)编入目标函数M文件myfun.m。functionf=myfun(x)f=4.288*10^(-4)*x(1)*x(2)^2;将g1(x)~g3(x)编入约束函数M文件mycon.m。function[c,ceq]=mycon(x)c(1)=3.091-(58.974-221453/(x(1)*x(2)^2))/(4.718^2+11072.65^2/(x(1)^2*x(2)^4))^0.5;c(2)=650*pi-7*x(1)*x(2);c(3)=3*x(1)*x(2)-650*p;iceq=[];在命令窗口调用优化程序,初始值根据文献[2]中常规设计方法(不考虑可靠性),结果n=16、d=24输入:1b=[0;0];x0=[16;24];[x,fva,lexitflag,output]=fmincon(@myfun,x0,[],[],[],[],lb,[],@mycon)运行结果如下:x=[16.5056;17.6742]Tfval=2.2109exitflag=1output=iterations:7;funcCount:31;stepsize:1;algorithm:cmedium-scale:SQP,Quasi-Newton,line-searchc经圆整标准化得:n=18,d=18,F=2.5008kg。3结论通过以上分析及实例可看出:(1)优化工具箱选用较可靠的优化算法,与常规设计结果相比较(n=16、d=24,根椐目标函数计算式(3)得:f0=3.9518kg),较大地提高了设计精度。(2)与遗传算法相比[5],设计精度完全能达到要求,使用方法简便,有利于设计者把精力集中在问题本身。(3)应用MATLAB优化工具箱进行机械优化设计问题求解,不用编写大量优化算法程序,提高了设计效率[6,7]。(4)MATLAB优化工具箱还可广泛的应用于各种机械