无穷等比数列各项的和正式版

无穷等比数列各项的和教材：上海市教育出版社高中二年级第一学期第七章第八节授课教师：上海市复旦大学附属中学李朝晖教学目标1.理解无穷等比数列各项的和的意义；2.利用无穷等比数列各项的和解决有关问题，特别是无限循环小数化分数的问题，对有理数有进一步清晰、完整的认识；3.通过无穷等比数列各项的和概念的引入及其研究，初步形成研究数学问题的能力，对数学中出现的有关无穷的问题有一个初步的认识，并对解决无穷问题的方法有一个初步的了解.重点难点1.无穷等比数列各项的和概念的引入以及定义的准确表述；2.如何转变学生在认识无穷问题上一些感性认识的错误，比如等式.0.90.9991的成立是否是准确的.教学过程一、引入课题今天我们学习无穷等比数列各项的和.在小学，同学们学习过分数化小数，我们知道分数可以化成有限小数或无限循环小数.例如：3333.03.031，但是我们是怎样理解无限循环小数，怎样理解3333.03.0的呢？我想大家对此是不多加思考的，知道它就是31.那么对于9999.09.0呢？你想到什么呢，它是什么意思，表示什么，等于多少，它是哪个数化成的，它是大于1，等于1，还是小于1？今天我们学习无穷等比数列各项的和，要从理论上根本解决这些问题.二、概念产生的过程我们已经学过无穷等比数列，但是什么是各项的和呢？我们先看一个具体的无穷等比数列.（1）求无穷等比数列}21{n，即：,21,,41,21n各项的和.分析：求数列各项的和，顾名思义，就是求数列全部项的和.无穷数列有无穷项，无穷项写也写不完，怎样相加求和？很明显，这在传统算术意义上是无法相加求和的，是不存在和的.但是这个问题是数学发展过程中产生的一个新问题，是需要加以研究解决的.对于新问题，就要用新思维、新方法加以研究解决，与时俱进，有所创造.创造要有一定的基础，我们先回顾一下与这个问题有关的我们已知什么？我们已知的是数列的前n项的和nS，下面我们就探讨nS与“各项和”的关系？求无穷数列各项的和，根据和的基本含义，是要把它们加起来，从前面开始加起来，它的基础是前n项和nS，对于数列}21{n，nnS211.我们想像一直加下去能得到“和”，即“和”是存在的，是一个确定的数“S”，那么前n项和nS与“S”的关系为：当n愈来愈大时，nS就会接近、无限制地接近这个和“S”.根据前面学习过的极限的知识，这个和“S”应该是前n项和nS的极限.通过上面的分析：我们首先要明确什么是“无穷项的和”，即要赋予“无穷项的和”的意义（定义）.有了意义，才能讨论怎样计算，也就是给出计算方法.用已知刻画未知.我们已知的是前n项和nS以及它的极限（如果极限存在）.未知的是无穷项的和.对于数列}21{n，已知nnS211，且1)211(limlimnnnnS.根据前面所认识到的前n项和nS的极限与我们所探索的“各项和”的关系，我们有如下定义.对于无穷等比数列}21{n，我们定义nnSlim为它的各项的和，记为S，即1limnnSS.即：121814121n.（2）上升到一般的无穷等比数列}{na，其中11nnqaa，１）1q，1naSn，nS的极限不存在；２）1qnnnqqaqaqqaS111)1(111，当1q，nS的极限不存在；当1q时：0limnnq，所以：qaqqaqaSnnnn1)11(limlim111，即前n项和nS的极限存在且等于qa11.定义：对于1q的无穷等比数列}{na，我们定义nnSlim为它的各项的和，记为S，即qaSSnn1lim1.三、应用（1）无限循环小数的问题我们知道分数化小数3333.03.031，逆过来呢？003.003.03.03333.03.0是表示首项为3.0，公比为1.0的无穷等比数列数列各项的和，即319.03.01.013.03333.03.0.由此也可以看出我们定义的合理性.对于9999.09.0，009.009.09.09999.0是表示首项为9.0，公比为1.0的无穷等比数列数列各项的和，即19.09.01.019.09999.09.0.19999.09.0，121814121n.这两个等式的成立是准确的呢，还是近似的？即左边是否真的等于１，还是近似等于１，还是小于１？对于这两个等式，同学们感觉上总认为等式左边小于右边，总觉得差一点.本质上同学们还是用有限来理解无限，通过今天的学习，我们要明确这两个等式的成立是准确的，因为这是根据无穷等比数列各项和的定义得到的.（2）例题例：正方形ABCD的边长为1，连接这个正方形各边的中点得到一个小的正方形1111DCBA；又连接这个小正方形各边的中点得到一个更小的正方形2222DCBA；如此无限继续下去，求所有这些正方形的面积的和.解：设第n个正方形的面积为na，由条件：11a由题设，可得到：ABCDA1B1C1D1B2A2C2D2B3A3C3D311211211211222)()2()2(nnnnnnnnnnBABACBBABA，进而：1211221)(21)(nnnnnnaBABAa，所以，所有正方形的面积组成的数列}{na是首项为1，公比为21的无穷等比数列，故所有正方形的面积之和为：22111S.四、总结1）本节课我们学习了“无穷等比数列各项的和”，是同学们第一次真正意义上碰到有关无穷的问题，也就是无穷个数相加.请同学们回去好好体会一下今天我们是如何处理有关无穷的问题，好好思考一下我们处理无穷问题的方法.2）作为“无穷等比数列各项的和”的应用，我们解决了无限循环小数的问题，也就是无限循环小数都可以化成分数，对有理数有了更清晰和完整的认识.教学设计说明1．教材分析我们使用的是上海市二期课改的教材.本教材的特点是：新颖、知识面广、图文并茂、引人入胜.本章节教材内容翔实、主次分明，给了教师很大的发展空间.针对不同的学生有了更多不一样的适合学生的设计.无穷等比数列各项的和是数列与数列极限之后的内容，是数列学习中的一个重要的概念.求无穷等比数列各项和，是无穷级数求和的一个最简单的特例.对高中生来说，是从初等数学到高等数学过渡的一个重要桥梁.2．教学目标的设计遵循二期课改的“以学生发展为本”的理念，根据本校（上海市示范性高中）学生的特点：个性活泼，思维活跃，学习数学的积极性高，初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力，以及学生的现有数学知识的准备：已掌握了数列和数列极限的概念及性质等，我设计了恰当的教学目标.通过本节课的学习，很重要的一个想法就是要同学们对无穷（或无限）有一个初步的认识，对在数学上如何处理无穷的问题有一个初步的了解.通过本节课的学习，另外一个想法就是通过新概念引入的过程，使同学们慢慢学会从一个问题的提出，到一个问题解决的过程，学会如何准确的描述一个数学对象，从学习的过程中提高自己的数学思维能力.总之在学习的过程中使学生“学会学习、学会思考”，加强对数学概念的学习和理解.3．教学过程的设计本节课是求无穷等比数列各项和，对高中生来说，是未见过的新问题、新概念，需要帮助思考、研究、理解，使之能正确建立新概念，不仅能理解掌握，而且能启发思维，促进以后的学习，为可持续发展打下良好的基础.由于之前的求和都是求有限项的和，因此说到求和，无形之中就把有限项的求和的思想方法移植过去，影响正确理解无穷项和的定义以及它的必要性和合理性.为此，在教学过程的引入问题、分析问题、解决问题中强调了以下三点：1．在问题引入阶段中，通过学生熟悉的一些例子，强调求无穷项和是数学发展过程中客观产生的一个新问题，必须加以研究解决.引导学生积极思考，参与解决问题.2．在分析问题阶段中，强调在传统的算术求和概念里，求无限项的和是无法解决的，是不可能求出和来的，是不存在和的.不破不立，不破旧概念，难立新概念.3．在解决问题阶段中，用新思想、新方法研究新问题，从研究新问题的最基本的思想方法出发，用已知刻画未知，用有限刻画无限来加以研究解决.由于在传统算术意义上求无限项和是没有意义的，所以首先要给出定义（什么是、是什么），再寻找求法（怎么求），在教学过程中，这两个问题是同时得到解决的.在整个教学过程中，遵循学生的思维过程，引导学生自己发现问题、解决问题，并在此过程中形成质疑精神，主动参与问题的解决，在积累知识的同时，能力得到提高，思维品质得到提升.4．本节课的特点强调过程教学，启发思维，调动学生学习数学的积极性，让学生真正的参与其中，体验学习数学的乐趣.在学习无穷项的和的过程中，在老师的引导下、学生进行理性的思考，通过思辨，不仅使学生知其然，而且还知其所以然.学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易的事儿。每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩。”说着，苏格拉底示范做了一遍，“从今天开始，每天做300下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每天甩手300下，哪个同学坚持了，有90％的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80％。一年过后，苏格拉底再一次问大家：“请告诉我，最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山。正是因为他具有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉无们，做事要有恒心。旬子讲：“锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。”这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持！当下市面上关于教授学习方法的书籍不少，其所载内容也的确很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归到当初的原点。这本《学会学习》在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法，书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够得到最适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己，不论对学习还是生活都有帮助。除了“针对性”强外，本书第二大特点就是“全面”，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博文或者PPT课件合集，每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强，每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时间规划”、“笔记”“阅读”直到“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题，文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货”，可以设身处地的想象：当自己面对学海之中手足无措之时，长篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人