第十讲图形的计数

图形的计数星期天的早晨，柔和的晨光透过窗户射到亮亮的床上。妈妈推门进来叫亮亮起床，此时，亮亮正盯着窗户看。妈妈就问亮亮：“窗户上有几个正方形？”亮亮立刻回答：“一共有9个。”妈妈笑着说：“你再数数看！”亮亮很纳闷，明明就是9个嘛，再数还是9个。同学们，亮亮数得对吗？复习：数一数图中有几条线段或几个长方形？（）条线段（）个长方形（）条线段4条3条2条1条4+3+2+1=10（条）105+4+3+2+1=15（个）154+3+2+1=10（条）10+1=11（条）11例题1：在如图3×3的网格中共有多少个长方形？例题1：在如图3×3的网格中共有多少个长方形？例题1：在如图3×3的网格中共有多少个长方形？例题1：在如图3×3的网格中共有多少个长方形？3+2+1=6（条）长：3+2+1=6（条）宽：6×6=36（个）长方形的个数：【即学即练1】图中共有多少个长方形（含正方形）？（正方形也算为长方形。）4+3+2+1=10（条）长：3+2+1=6（条）宽：10×6=60（个）长方形的个数：例题2：数出图中正方形的个数。。将图形进行合理、科学的分类，可以避免统计过程中的重复和遗漏。此题，假定每个小正方形的边长为1，采用分类的方法，分别数出边长为1、2、3、4的正方形的个数，其和就是图中所有正方形的个数例题2：数出图中正方形的个数。。边长为1的正方形：16个边长为2的正方形：9个边长为3的正方形：4个边长为4的正方形：1个一共的个数：1+4+9+16=30（个）1×12×23×34×412223242+++=正方形的总个数一般地，如果把一个正方形各边分成相等的几份，图中所有正方形的个数为：12+22+32+…+n2【即学即练2】数一数图中共有多少个正方形。（）个正方形（）个正方形12+22+32+42+52=55556×4+5×3+4×2+3×1=24+15+8+3=5050【即学即练2】数一数图中共有多少个正方形。（）个正方形（）个正方形555012+22+32+…+n2长的份数×宽的份数+（长的份数-1）×（宽的份数-1）+（长的份数-2）×（宽的份数-2）+…+(长的份数-n)×1（即乘到宽减到1为止）例题3：数一数，图中有多少个三角形？BACDE例题3：数一数，图中有多少个三角形？BACDE（1）在△ABC中，以A为顶点的三角形有:5+4+3+2+1=15（个）；例题3：数一数，图中有多少个三角形？BACDE（1）在△ABC中，以A为顶点的三角形有:5+4+3+2+1=15（个）；BACDE（2）在△ABD中，以A为顶点的三角形有:4+3+2+1=10（个）；（3）在△BDE中，以B为顶点的三角形有:4个（4）共有:15+10+4=29（个）【即学即练3】图中有多少个三角形？BAC1+2+3=6（个）6×3=18（个）3×3=9（个）18+9=27（个）例题4：数一数，图中有个正方形。（1）在3×4的长方形中，横平竖直的正方形有：4×3+3×2+2×1=20（个）（2）斜着的有1×1的正方形（）个，2×2的正方形有（）个，还有（）个3×3的正方形。1781（3）共有：20+17+8+1=46（个）【即学即练4】数一数，图中有个三角形。采取分类计数的方法：8+4+4+4=20（个）例题5：数一数，图中有多少个三角形？1.以一条基本线段为边的三角形：①尖朝上的三角形共有四层，它们的总数为：1+2+3+4=10（个）②尖朝下的三角形共有三层，它们的总数为：1+2+3=6（个）2.以两条基本线段为边的三角形：①尖朝上的三角形共有：1+2+3=6（个）②尖朝下的三角形:1（个）4.以4条基本线段为边的三角形：①尖朝上的三角形共有：1+2=3（个）②尖朝下的三角形0个：3.以3条基本线段为边的三角形：1（个）5.总数【即学即练5】数一数图中有多少个三角形？（4+3+2+1）×2+4=24（个）Ⅰ.尖朝上的三角形有五种:(1)W①上=8+7+6+5+4=30(2)W②上=7+6+5+4=22(3)W③上=6+5+4=15(4)W④上=5+4=9(5)W⑤上=4∴尖朝上的三角形共有:30+22+15+9+4=80(个)Ⅱ.尖朝下的三角形有四种:(1)W①下=3+4+5+6+7=25(2)W②下=2+3+4+5=14(3)W③下=1+2+3=6(4)W④下=1尖朝下的三角形共有25+14+6+1=46(个)∴80+46=126个.【拓展1】下图共有()个三角形.①上横大长方形内有长方形:(8+7+6+5+4+3+2+1)(1+2)=108(个);②下横大长方形内有长方形:(7×6÷2)×(3×2÷2)=63(个);③竖大长方形内有长方形:(5×4÷2)×(7×6÷2)=210(个);④中间重复的长方形共有:(5×4÷2)×(3×2÷2)×2=60(个).⑤图中共有长方形:108+63+210-60=321(个).（备注：②③④括号里是等差数列求和。）【拓展2】右图一共有()个长方形（含正方形）能力检测：1一个正方体，六个面分别写上A、B、C、D、E、F，你能根据这个正方体不同的摆法，求出相对的两个面的字母是什么吗？从出现次数最多是字母入手，采取排除法。A对E，B对D，C对F。DAFACBCDE2.甲、乙两个数的和是218，如果再加上丙数，这是三个数的平均数比甲、乙两个数的平均数多5，丙数是多少？218÷2+5=114114×3-218=1243．聪聪读一本故事书，前4天平均每天读25页，以后每天读40页，又读了6天正好读完。聪聪这10天里平均每天读多少页？25×4+40×6=340（页）340÷10=34（页）4.某年级学生共有100人，十年后他们的岁数之和是2000岁，今年这些学生的平均年龄是多少岁？2000-100×10=1000（岁）1000÷100=10（岁）5.已知10个数的平均数是13，如果把其中一个数改为12后，这10个数的平均数变为12。那么这个被改动的数原来是。13×10-12×10=1012+10=22226.某次考试，A、B、C、D、E五人的平均分是90分。若A、B、C的平均分是86分，B、D、E的平均分是95分，则B的得分是多少分？86×3+95×3-90×5=93（分）7.从山顶到山脚的路长72千米，一辆汽车上山，需要4小时到达山顶，下山沿原路返回，只用2小时到达山脚。求这辆汽车往返的平均速度。72×2÷（4+2）=24（千米）8.7个连续偶数的和是1988，求这7个连续偶数。分析已知奇数个偶数的和，可以用和除以个数求出中间数，再求出其他各偶数中间数：1988÷7=284其他六个数分别为278、280、282、284、286、288、290。9.一辆汽车从甲城到乙城，去时每小时行60千米，返回时每小时行40千米，求这辆车的平均速度。假设甲乙两城相距120千米.则这辆车的平均速度是：（120×2）÷（120÷60+120÷40）=240÷5=48（千米/小时）10.在一场篮球比赛中，其中一个队在场上总是保持5名队员，在场边还有3名候补队员（场上队员可以随时替换）。如果整场比赛中这8名队员每人上场的时间相同，而且这场比赛持续的时间是48分钟，那么每个队员上场的时间是多少分钟？48×5÷8=30（分）11.缝纫机厂第一季度平均每月生产缝纫机650台，第二季度生产的是第一季度生产的2倍少450台，下半年平均月生产1100台，求这个厂一年的平均月产量。①上半年总产量：650×3+650×3×2-450=5400（台）②下半年总产量：1100×6=6600（台）③平均月产量：（5400＋6600）÷12=1000（台）12.十个学生参加一次考试，这次考试的满分是100分，在这次考试中十个学生的平均分是92分。一个成绩最差的学生可能得到的最低分是多少？当平均分确定的情况下，要使那个同学的分数最低，其他9个同学就应取最高分：100×9=900那个同学的可能得的最低分：92×10-900=20（分）13.6个学生的年龄正好是连续自然数，他们的年龄和与小明爸爸的年龄相同，7个人年龄一共是126岁，求这6个学生各几岁？分析：6个孩子年龄和与小明爸爸年龄相同，说明小明爸爸年龄是126岁的一半，是63岁；其他6个学生的年龄和也是63岁。63÷3＝21（岁），21=10＋11为中间两个数，所以其他四人年龄依次为8、9、12、13岁。14.四（5）班有学生40人，数学期末考试时有三位同学困病缺考，平均成绩是80分。后来这三位同学补考，成绩分别为98分、87分和95分，这时全班同学的平均成绩是多少分？（40—3）×80=2960（分）（2960＋98＋87＋95）÷40=81（分）15.一辆汽车林甲地开往乙地，前2小时每小时行40千米。为了按时到达，后3小时每小时加快5千米。汽车的平均速度是多少？甲、乙两地相距：40×2＋（40＋5）×3=215（千米）所用时间：2＋3=5（小时）汽车的平均速度为：215÷5=43（千米）16.一辆小轿车，装有4个轮胎，还有1只备用轮胎，司机适当地轮换这5只轮胎，使每只轮胎行程相同。小车共行驶了3200千米，每只轮胎平均行驶了多少千米？小轿车在任何时候都是4个轮胎同时行驶，小车行驶3200千米，即所有5只轮胎共行驶4个3200千米：3200×4=12800（千米）平均每只轮胎的行驶路程为：12800÷5=2560（千米）评价内容出勤好10上课好20准备好10文明好10练习好50总分100评价情况我的收获我的问题情况记载家长签字课时学习评价：