定比分点的向量公式及应用

1定比分点的向量公式及应用浙江省永康市古山中学（321307）吴汝龙定比分点的向量公式：在平面上任取一点O，设aOP1，bOP2，若21PPPP，则baOP111。特别地，当1时，即P为线段21PP的中点，则有baOP2121。用定比分点的向量公式，可使有些问题的解决更简洁。下面举几例说明。一、求定比的值：例1：已知A（1,2），B（1,3）及直线l：54xy，直线AB与l相交于P点，求P点分AB的比。解：设),(yxP，则由PBAP，得)11,131()1,3(1)1,2(11),(yx，又∵P点在直线l上，∴51)31(411，∴31。例2：如图所示，在ABC中，D为边BC上的点，且DCkBD，E为AD上的一点，且EAlDE，延长BE交AC于F，求F分有向线段CA所成的比。解：∵FACF，∴BABCBF111，又EAlDE，∴BAllBDlBE111，而BCkkDCkBD1，∴BAllBCklkBE1)1)(1(，∵B、E、F共线，∴设BFtBE，而BAtBCtBFt11∴BAtBCtBAllBCklk111)1)(1(FEDCBA2∴lltklkt11)1)(1(1，解得kkl)1(。二、求直线上点的坐标例3：已知点)1,1(A，)5,2(B，点C为直线AB上一点，且BCAC5，求C点的坐标。分析：先求出C点分AB的的值，再利用定比分点的向量公式求出点C的坐标。解：∵BCAC5，∴5CBAC，利用定比分点的坐标公式有)4,23()5,2(65)1,1(616561OBOAOC。∴C点的坐标为)4,23(。例4：已知)3,2(A，)5,1(B，且ABAC31，ABAD3，求点C，D的坐标。分析：由题设，运用定比分点的向量公式，可以求得点C，D的坐标。解：设),(11yxC，),(22yxD，∵ABAC31，∴211CBAC，∴根据定比分点的向量公式有OBOAOC211111，∴)311,1()5,1(31)3,2(32)5,1(21121)3,2(2111),(11yx同理由ABAD3得232DBAD，∴根据定比分点的向量公式有OBOAOC211111，∴)9,7()5,1(3)3,2(2)5,1(23123)3,2(2311),(22yx3∴点C的坐标为)311,1(，D点的坐标为)9,7(。三、证明三点共线例5：已知点),(cbaA，),(acbB，),(bacC，求证：A、B、C三点共线。证明：设),(/ycC在AB上，/C分AB的比为，则),(1),(11111/acbcbaOBOAOC)1,1(ccbaba∴11ccbaybac，解得baybcca∴),(/ycC与),(bacC重合，由题设知C在AB上，∴A、B、C三点共线。四、求字母系数范围例6：已知点)3,3(A，)5,1(B，一次函数1kxy的图象与线段AB有公共点，求实数k的取值范围。解：设),(yxP为一次函数图象与线段AB的交点，把P看作AB的定比分点，其定比为，则有0，由定比分点公式有)153,13()5,1(1)3,3(11111OBOAOP，而P点在函数1kxy图象上，∴113153k，解得423kk，∴0423kk，即32k或4k，而当P点与B重合时，4k也适合。∴4k或32k。例7：若直线2axy与连接)1,2(P，)2,3(Q两点的线段有公共点，求实数a的取值范围。4解：当直线过P点时，23a，直线过Q点时，34a，当直线与线段PQ的交点在P、Q之间时，设这个交点),(yxM分PQ的比为，由定比分点公式有)121,132()2,3(1)1,2(11111OQOPOM，∴M点的坐标为)121,132(，又∵直线过点M，∴2132121a，∴4332aa，又∵点M在线段PQ上知0，∴04332aa，解得34a或23a，∴34a或23a。五、解决平面几何问题：例8：如图所示，在平行四边形ABCD中，P点在线段AB上，且mPBAP，Q在线段AD上，且nQDAQ，BQ与CP相交于R，求RCPR的值。分析：取两基底，由定比分点的向量公式将有关向量用基底表示出来，再求解。解：设aBA，bBC，RCPR，∴RCPR，由题意有PBmAP，QDnAQ，则amBAmPAmBP11111，bnnabannanBDnnBAnBQ1)(111111，bamBCBPBR1)1)(1(1111，又B、R、Q三点共线，∴存在实数t使BRtBQ，∴bnnabtamt11)1)(1(，RQPDCBA5∴1)1)(1(mt，且nnt11。∴)1)(1(nmn，即)1)(1(nmnRCPR。例9：设直角三角形AOB斜边的三等分点为D、E。求证2222||32||||||ABDEOEOD。分析：以O为原点，OA为x轴正向建立直角坐标系，设)0,(aOA，),0(bOB，用a，b表示相关线段的长度，从而证明命题。证明：以直角顶点O为原点，直角边OA、OB所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系，如图设点)0,(aA，点),0(bB，),(yxD则D分AB的比为21，∴由定比分点的向量公式得)31,32(),0(21121)0,(2111111babaOBOAOD∴点D坐标为)31,32(ba同理点E坐标为)32,31(ba，由两点间距离公式，得994||222baOD，949||222baOE，99||222baDE，∴)(323232||||||2222222babaDEOEOD，而222||ABba，∴2222||32||||||ABDEOEOD。例10：如图，已知ABC，求证：ABC的三条中线AD、BE、CF相交于一点G，且32CFCGBEBGADAG。分析：几何问题应用向量来解决，关键是将有关线段设为YXEDBAOGFEDCBA6向量，可以在平面内任取一点O为向量的始点，将OA、OB、OC设出。证明：如图，在平面内任取一点O，设aOA，bOB，cOC，又设1G为AD上一点，且DGAG112，则ODOAOG2122111ODaODOA32313231∵D为BC中点，∴)(21cbOD，∴)(31)(2132311cbacbaOG，同样，若设EGBG222，FGCG332，则可证得)(312cbaOG,)(313cbaOG∴321OGOGOG∴1G、2G、3G三点重合。设交点为G，则有32CFCGBEBGADAG。OGFEDCBA