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习题1021设L为xOy面内直线xa上的一段证明LdxyxP0),(证明设L是直线xa上由(ab1)到(ab2)的一段则Lxaytt从b1变到b2于是00),())(,(),(2121bbbbLdttaPdtdtdataPdxyxP2.设L为xOy面内x轴上从点(a0)到(b0)的一段直线证明LbadxxPdxyxP)0,(),(证明Lxxy0t从a变到b所以baLbadxxPdxxxPdxyxP)0,())(0,(),(3计算下列对坐标的曲线积分(1)Ldxyx)(22其中L是抛物线yx2上从点(00)到点(24)的一段弧解Lyx2x从0变到2所以Ldxxxdxyx2042221556)()((2)Lxydx其中L为圆周(xa)2y2a2(a0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)解LL1L2其中L1xaacostyasintt从0变到L2xxy0x从0变到2a因此21LLLxydxxydxxydxadxdttaatata2000)cos(sin)cos1(3020232)sinsinsin(attdtdta(3)Lxdyydx其中L为圆周xRcostyRsint上对应t从0到2的一段弧解LdtttRRtRtRxdyydx]coscos)sin(sin[2020202costdtR(4)Lyxdyyxdxyx22)()(其中L为圆周x2y2a2(按逆时针方向绕行)解圆周的参数方程为xacostyasintt从0变到2所以Lyxdyyxdxyx22)()(202)]cos)(sincos()sin)(sincos[(1dttatatatatataa202221dtaa(5)ydzzdydxx2其中为曲线xkyacoszasin上对应从0到的一段弧解022]coscos)sin(sin)[(daaaakkydzzdydxx233220331)(akdak(6)dzyxydyxdx)1(其中是从点(111)到点(234)的一段直线解的参数方程为x1ty12tz13tt从0变到1dzyxydyxdx)1(10)]1211(3)21(2)1[(dttttt1013)146(dtt(7)ydzdydx其中为有向闭折线ABCA这里的ABC依次为点(100)(010)(001)解ABBCCA其中ABxxy1xz0x从1变到0BCx0y1zzzz从0变到1CAxxy0z1xx从0变到1故ydzdydxydzdydxydzdydxydzdydxCABCAB101010)]1()1([])1(1[dxdtzzdxx21(8)dyxyydxxyxL)2()2(22其中L是抛物线yx2上从(11)到(11)的一段弧解Lxxyx2x从1变到1故Ldyxyydxxyx)2()2(22113432]2)2()2[(dxxxxxx1514)4(21042dxxx4计算Ldyxydxyx)()(其中L是(1)抛物线yx2上从点(11)到点(42)的一段弧解Lxy2yyy从1变到2故Ldyxydxyx)()(2122334]1)(2)[(dyyyyyy(2)从点(11)到点(42)的直线段解Lx3y2yyy从1变到2故Ldyxydxyx)()(11]1)23()23[(21dyyyyyy(3)先沿直线从点(11)到(12)然后再沿直线到点(42)的折线解LL1L2其中L1x1yyy从1变到2L2xxy2x从1变到4故Ldyxydxyx)()(dyxydxyxdyxydxyxLL)()()()(2114)2()1(4121dxxdyy(4)沿曲线x2t2t1yt21上从点(11)到(42)的一段弧解Lx2t2t1yt21t从0变到1故Ldyxydxyx)()(332]2)()14)(23[(1022dttttttt5一力场由沿横轴正方向的常力F所构成试求当一质量为m的质点沿圆周x2y2R2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段时场力所作的功解已知场力为F(|F|0)曲线L的参数方程为xRcosyRsin从0变到2于是场力所作的功为RFdRFdxFdWLL||)sin(||||20rF6设z轴与力方向一致求质量为m的质点从位置(x1y1z1)沿直线移到(x2y2z2)时重力作的功解已知F(00mg)设为从(x1y1z1)到(x2y2z2)的直线则重力所作的功为21)(0012zzzzmgdzmgmgdzdydxdWrF7把对坐标的曲线积分LdyyxQdxyxP),(),(化成对弧长的曲线积分其中L为(1)在xOy面内沿直线从点(00)到(11)解L的方向余弦214coscoscos故LdyyxQdxyxP),(),(dsyxQyxPL]cos),(cos),([LdsyxQyxP2),(),((2)沿抛物线yx2从点(00)到(11)解曲线L上点(xy)处的切向量为(12x)单位切向量为)412,411()cos,(cos22xxxe故LdyyxQdxyxP),(),(dsyxQyxPL]cos),(cos),([LdsxyxxQyxP241),(2),((3)沿上半圆周x2y22x从点(00)到(11)解L的方程为22xxy其上任一点的切向量为)21,1(2xxx单位切向量为)1,2()cos,(cos2xxxe故LdyyxQdxyxP),(),(dsyxQyxPL]cos),(cos),([LdsyxQxyxPxx)],()1(),(2[28设为曲线xtyt2zt3上相应于t从0变到1的曲线弧把对坐标的曲线积分RdzQdyPdx化成对弧长的曲线积分解曲线上任一点的切向量为(12t3t2)(12x3y)单位切向量为)3,2,1(9211)cos,cos,(cos22yxyxedsRQPRdzQdyPdxL]coscoscos[LdsyxyRxQP2294132