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习题1101证明方程x53x1至少有一个根介于1和2之间证明设f(x)x53x1则f(x)是闭区间[12]上的连续函数因为f(1)3f(2)25f(1)f(2)0所以由零点定理在(12)内至少有一点(12)使f()0即x是方程x53x1的介于1和2之间的根因此方程x53x1至少有一个根介于1和2之间2证明方程xasinxb其中a0b0至少有一个正根并且它不超过ab证明设f(x)asinxbx则f(x)是[0ab]上的连续函数f(0)bf(ab)asin(ab)b(ab)a[sin(ab)1]0若f(ab)0则说明xab就是方程xasinxb的一个不超过ab的根若f(ab)0则f(0)f(ab)0由零点定理至少存在一点(0ab)使f()0这说明x也是方程x=asinxb的一个不超过ab的根总之方程xasinxb至少有一个正根并且它不超过ab3设函数f(x)对于闭区间[ab]上的任意两点x、y恒有|f(x)f(y)|L|xy|其中L为正常数且f(a)f(b)0证明至少有一点(ab)使得f()0证明设x0为(ab)内任意一点因为0||lim|)()(|lim00000xxLxfxfxxxx所以0|)()(|lim00xfxfxx即)()(lim00xfxfxx因此f(x)在(ab)内连续同理可证f(x)在点a处左连续在点b处右连续所以f(x)在[ab]上连续因为f(x)在[ab]上连续且f(a)f(b)0由零点定理至少有一点(ab)使得f()04若f(x)在[ab]上连续ax1x2xnb则在[x1xn]上至少有一点使nxfxfxffn)()()()(21证明显然f(x)在[x1xn]上也连续设M和m分别是f(x)在[x1xn]上的最大值和最小值因为xi[x1xn](1in)所以有mf(xi)M从而有Mnxfxfxfmnn)()()(21Mnxfxfxfmn)()()(21由介值定理推论在[x1xn]上至少有一点使nxfxfxffn)()()()(215证明若f(x)在()内连续且)(limxfx存在则f(x)必在()内有界证明令Axfx)(lim则对于给定的0存在X0只要|x|X就有|f(x)A|即Af(x)A又由于f(x)在闭区间[XX]上连续根据有界性定理存在M0使|f(x)|Mx[XX]取Nmax{M|A||A|}则|f(x)|Nx()即f(x)在()内有界6在什么条件下(ab)内的连续函数f(x)为一致连续？