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习题1261求下列各微分方程的通解(1)yxsinx解12cos21)sin(Cxxdxxxy21312sin61)cos21(CxCxxdxCxxy原方程的通解为213sin61CxCxxy(2)yxex解12Cexedxxeyxxx21122)2(CxCexedxCexeyxxxx3221213)22(CxCxCexedxCxCexeyxxxx原方程的通解为32213CxCxCexeyxx(3)211xy解12arctan11CxdxxyxCdxxxxxdxCxy1211arctan)(arctan212)1ln(21arctanCxCxxx原方程的通解为2121lnarctanCxCxxxy(4)y1y2解令py则原方程化为p1p2即dxdpp211两边积分得arctanpxC1即yptan(xC1)211|)cos(|ln)tan(CCxdxCxy原方程的通解为21|)cos(|lnCCxy(5)yyx解令py则原方程化为ppx由一阶线性非齐次方程的通解公式得1)()(111xeCCdxxeeCdxexepxxxdxdx即yC1exx1于是221121)1(CxxeCdxxeCyxx原方程的通解为22121CxxeCyx(6)xyy0解令py则原方程化为xpp0即01pxp由一阶线性齐次方程的通解公式得xCeCeCpxdxx1ln111即xCy1于是211lnCxCdxxCy原方程的通解为yC1lnxC2(7)yyy2解令py则dydppdxdydydpy原方程化为21pdydpyp即dyydppp112两边积分得||ln||ln|1|ln2112Cyp即22121yCp当|y||p|1时方程变为2211yCy即dxdyyC21)(11两边积分得arcsh(C1y)C1xC2即原方程的通解为)(sh1121xCCCy当|y||p|1时方程变为2211yCy即dxdyyC21)(11两边积分得arcsin(C1y)C1xC2即原方程的通解为)(sin1121xCCCy(8)y3y10解令py则dydppy原方程化为013dydppy即pdpy3dy两边积分得122212121Cyp即p2y2C1故21yCy即dxdyyC211两边积分得)(12121CxCyC即原方程的通解为C1y2(C1xC2)2(9)yy1解令py则dydppy原方程化为ydydpp1即dyypdp1两边积分得122221Cyp即1244Cyp故12Cyy即dxdyCy11两边积分得原方程的通211231]2)(32[CCyCCyx(10)yy3y解令py则dydppy原方程化为ppdydpp3即0)]1([2pdydpp由p0得yC这是原方程的一个解由0)1(2pdydp得arctanpyC1即yptan(yC1)从而)sin(ln)tan(1112CydyCyCx故原方程的通解为12arcsinCeyCx2求下列各微分方程满足所给初始条件的特解(1)y3y10y|x11y|x10解令py则dydppy原方程化为013dydppy即dyypdp31两边积分得1221Cyp即yyCy211由y|x11y|x10得C11从而yyy21分离变量得dxdyyy21两边积分得221Cxy即22)(1Cxy由y|x11得C212)1(1xy从而原方程的通解为22xxy(2)yay20y|x00y|x01解令py则原方程化为02apdxdp即adxdpp21两边积分得11Caxp即11Caxy由y|x01得C1111axy两边积分得2)1ln(1Caxay由y|x00得C20故所求特解为)1ln(1axay(3)yeaxy|x1y|x1y|x10解11Ceadxeyaxax由y|x10得aeaC112211)11(Cxeaeadxeaeayaaxaax由y|x10得aaeaeaC2211dxeaeaxeaeayaaaax)1111(22322311211Cxeaxeaxeaeaaaaax由y|x10得aaaaeaeaeaeaC32312111故所求特解为322232)22()1(2aaaeaxaeaxeaeyaaaax(4)ye2yy|x0y|x00解令py则dydppy原方程化为yedydpp2即pdpe2ydy积分得p2e2yC1即12Ceyy由y|x0y|x00得C11故12yey从而dxdyey112积分得arcsineyxC2由y|x00得22C故xxeycos)2sin(从而所求特解为ylncosx(5)yy3y|x01y|x02解令py则dydppy原方程化为ydydpp3即dyypdp3两边积分得12322221Cyp即1232Cyy由y|x01y|x02得C10432yy从而dxdyy243两边积分得24124Cxy即42)4121(Cxy由y|x01得C24故原方程的特解为4)121(xy(6)yy21y|x00y|x00解令py则dydppy原方程化为12pdydpp即2222pdydp于是1)2(211222ydydyeCCdyeep即121yeCy由y|x00y|x00得C11yey21故dxdyey211两边积分得22)1ln(Cxeeyy由y|x00得C20xeeyy)1ln(2从而得原方程的特解ylnchx3试求yx的经过点M(01)且在此点与直线121xy相切的积分曲线解1221Cxy21361CxCxy由题意得y|x0121|0xy由21|0xy得211C再由y|x01得C21因此所求曲线为121613xxy4设有一质量为m的物体在空中由静止开始下落如果空气阻力为Rc2v2(其中c为常数v为物体运动的速度)试求物体下落的距离s与时间t的函数关系解以t0对应的物体位置为原点垂直向下的直线为s正轴建立坐标系由题设得0||0022ttvsvcmgdtdvm将方程分离变量得dtvcmgmdv22两边积分得1||lnCktmgcvmgcv(其中mgck2)由v|t00得C10ktmgcvmgcv||ln即ktemgcvmgcv因为mgc2v2故ktecvmgmgcv)(即)1()1(ktktemgecv或ktkteecmgdtds11分离变量并积分得211lnCeeckmgsktkt由s|t00得C20故所求函数关系为ktkteeckmgs11ln即)(chln2tmgccms