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习题131根据函数极限的定义证明(1)8)13(lim3xx分析因为|(3x1)8||3x9|3|x3|所以要使|(3x1)8|只须31|3|x证明因为031当0|x3|时有|(3x1)8|所以8)13(lim3xx(2)12)25(lim2xx分析因为|(5x2)12||5x10|5|x2|所以要使|(5x2)12|只须51|2|x证明因为051当0|x2|时有|(5x2)12|所以12)25(lim2xx(3)424lim22xxx分析因为|)2(||2|244)4(2422xxxxxxx所以要使)4(242xx只须|)2(|x证明因为0当0|x(2)|时有)4(242xx所以424lim22xxx(4)21241lim321xxx分析因为|)21(|2|221|212413xxxx所以要使212413xx只须21|)21(|x证明因为021当|)21(|0x时有212413xx所以21241lim321xxx2根据函数极限的定义证明(1)2121lim33xxx分析因为333333||21212121xxxxxx所以要使212133xx只须3||21x即321||x证明因为0321X当|x|X时有212133xx所以2121lim33xxx(2)0sinlimxxx分析因为xxxxx1|sin|0sin所以要使0sinxx只须x1即21x证明因为021X当xX时有0sinxx所以0sinlimxxx3当x2时yx24问等于多少使当|x2|时|y4|0001？解由于当x2时|x2|0故可设|x2|1即1x3要使|x24||x2||x2|5|x2|0001只要0002.05001.0|2|x取00002则当0|x2|时就有|x24|00014当x时13122xxy问X等于多少使当|x|X时|y1|001?解要使01.034131222xxx只要397301.04||x故397X5证明函数f(x)|x|当x0时极限为零证明因为|f(x)0|||x|0||x||x0|所以要使|f(x)0|只须|x|因为对0使当0|x0|时有|f(x)0|||x|0|所以0||lim0xx6求,)(xxxfxxx||)(当x0时的左﹑右极限并说明它们在x0时的极限是否存在证明因为11limlim)(lim000xxxxxxf11limlim)(lim000xxxxxxf)(lim)(lim00xfxfxx所以极限)(lim0xfx存在因为1lim||lim)(lim000xxxxxxxx1lim||lim)(lim000xxxxxxxx)(lim)(lim00xxxx所以极限)(lim0xx不存在7证明若x及x时函数f(x)的极限都存在且都等于A则Axfx)(lim证明因为Axfx)(limAxfx)(lim所以0X10使当xX1时有|f(x)A|X20使当xX2时有|f(x)A|取Xmax{X1X2}则当|x|X时有|f(x)A|即Axfx)(lim8根据极限的定义证明函数f(x)当xx0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等证明先证明必要性设f(x)A(xx0)则00使当0|xx0|时有|f(x)A|因此当x0xx0和x0xx0时都有|f(x)A|这说明f(x)当xx0时左右极限都存在并且都等于A再证明充分性设f(x00)f(x00)A则010使当x01xx0时有|f(x)A20使当x0xx0+2时有|f(x)A|取min{12}则当0|xx0|时有x01xx0及x0xx0+2从而有|f(x)A|即f(x)A(xx0)9试给出x时函数极限的局部有界性的定理并加以证明解x时函数极限的局部有界性的定理如果f(x)当x时的极限存在则存在X0及M0使当|x|X时|f(x)|M证明设f(x)A(x)则对于1X0当|x|X时有|f(x)A|1所以|f(x)||f(x)AA||f(x)A||A|1|A|这就是说存在X0及M0使当|x|X时|f(x)|M其中M1|A|