18

习题181研究下列函数的连续性并画出函数的图形(1)21210)(2xxxxxf解已知多项式函数是连续函数所以函数f(x)在[01)和(12]内是连续的在x1处因为f(1)1并且1lim)(lim211xxfxx1)2(lim)(lim11xxfxx所以1)(lim1xfx从而函数f(x)在x1处是连续的综上所述，函数f(x)在[02]上是连续函数(2)1||111)(xxxxf解只需考察函数在x1和x1处的连续性在x1处因为f(1)1并且)1(11lim)(lim11fxfxx)1(1lim)(lim11fxxfxx所以函数在x1处间断但右连续在x1处因为f(1)1并且1lim)(lim11xxfxxf(1)11lim)(lim11xxxff(1)所以函数在x1处连续综合上述讨论函数在(1)和(1)内连续在x1处间断但右连续2下列函数在指出的点处间断说明这些间断点属于哪一类如果是可去间断点则补充或改变函数的定义使它连续(1)23122xxxyx1x2解)1)(2()1)(1(23122xxxxxxxy因为函数在x2和x1处无定义所以x2和x1是函数的间断点因为231limlim2222xxxyxx所以x2是函数的第二类间断点因为2)2()1(limlim11xxyxx所以x1是函数的第一类间断点并且是可去间断点在x1处令y2则函数在x1处成为连续的(2)xxytanxk2kx(k012)解函数在点xk(kZ)和2kx(kZ)处无定义因而这些点都是函数的间断点因xxkxtanlim(k0)故xk(k0)是第二类间断点因为1tanlim0xxx0tanlim2xxkx(kZ)所以x0和2kx(kZ)是第一类间断点且是可去间断点令y|x01则函数在x0处成为连续的令2kx时y0则函数在2kx处成为连续的(3)xy1cos2x0解因为函数xy1cos2在x0处无定义所以x0是函数xy1cos2的间断点又因为xx1coslim20不存在所以x0是函数的第二类间断点(4)1311xxxxyx1解因为0)1(lim)(lim11xxfxx2)3(lim)(lim11xxfxx所以x1是函数的第一类不可去间断点3讨论函数xxxxfnnn2211lim)(的连续性若有间断点判别其类型解1||1||01||11lim)(22xxxxxxxxxfnnn在分段点x1处因为1)(lim)(lim11xxfxx1lim)(lim11xxfxx所以x1为函数的第一类不可去间断点在分段点x1处因为1lim)(lim11xxfxx1)(lim)(lim11xxfxx所以x1为函数的第一类不可去间断点4证明若函数f(x)在点x0连续且f(x0)0则存在x0的某一邻域U(x0)当xU(x0)时f(x)0证明不妨设f(x0)0因为f(x)在x0连续所以0)()(lim00xfxfxx由极限的局部保号性定理存在x0的某一去心邻域)(0xU使当x)(0xU时f(x)0从而当xU(x0)时f(x)0这就是说则存在x0的某一邻域U(x0)当xU(x0)时f(x)05试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子(1)x01221nn1是f(x)的所有间断点且它们都是无穷间断点解函数xxxfcsc)csc()(在点x01221nn1处是间断的且这些点是函数的无穷间断点(2)f(x)在R上处处不连续但|f(x)|在R上处处连续解函数QQxxxf11)(在R上处处不连续但|f(x)|1在R上处处连续(3)f(x)在R上处处有定义但仅在一点连续解函数QQxxxxxf)(在R上处处有定义它只在x0处连续