经济数学微积分中值定理与导数的应用复习资料

主要内容典型例题第四章中值定理与导数的应用习题课洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式型00,1,0型型0型00型Cauchy中值定理Taylor中值定理xxF)()()(bfaf0ngfgf1fgfggf1111取对数令gfy单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;最值的经济应用导数的应用一、主要内容1.罗尔中值定理罗尔（Rolle）定理如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba内可导,且在区间端点的函数值相等，即)()(bfaf,那末在),(ba内至少有一点)(ba,使得函数)(xf在该点的导数等于零，即0)('f2.拉格朗日中值定理拉格朗日（Lagrange）中值定理如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba内可导,那末在),(ba内至少有一点)(ba，使等式))(()()('abfafbf成立.).10()(0xxxfy.的精确表达式增量y有限增量公式.3.柯西中值定理柯西（Cauchy）中值定理如果函数)(xf及)(xF在闭区间],[ba上连续,在开区间),(ba内可导,且)('xF在),(ba内每一点处均不为零，那末在),(ba内至少有一点)(ba,使等式)()()()()()(''FfaFbFafbf成立.推论.)(,)(上是一个常数在区间那末上的导数恒为零在区间如果函数IxfIxf4.洛必达法则定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.型未定式型及⑴00型未定式⑵00,1,0,,0关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.),00()(注意：洛必达法则的使用条件.泰勒(Taylor)中值定理如果函数)(xf在含有0x的某个开区间),(ba内具有直到)1(n阶的导数,则当x在),(ba内时,)(xf可以表示为)(0xx的一个n次多项式与一个余项)(xRn之和:)()(!)()(!2)())(()()(00)(200000xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn5.泰勒中值定理)()()!1()()(010)1(之间与在其中xxxxnfxRnnn常用函数的麦克劳林公式)()!12()1(!5!3sin221253nnnxonxxxxx)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx)(1)1(32)1ln(1132nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx)(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx6.导数的应用定理.],[)(0)(),(2],[)(0)(),(1.),(],[)(00上单调减少在那末函数，内如果在上单调增加；在那末函数，内如果在内可导在上连续，在设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy(1)函数单调性的判定法.)()(,)()(,,,;)()(,)()(,,,,),(,),()(000000000的一个极小值是函数就称均成立外除了点的任何点对于这邻域内的一个邻域如果存在着点的一个极大值是函数就称均成立外除了点的任何点对于这邻域内的一个邻域如果存在着点内的一个点是内有定义在区间设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf定义(2)函数的极值及其求法设)(xf在点0x处具有导数,且在0x处取得极值,那末必定0)(0'xf.定理(必要条件)定义.)()0)((的驻点做函数叫的实根即方程使导数为零的点xfxf函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为临界点.(1)如果),,(00xxx有;0)('xf而),(00xxx,有0)('xf，则)(xf在0x处取得极大值.(2)如果),,(00xxx有;0)('xf而),(00xxx有0)('xf，则)(xf在0x处取得极小值.(3)如果当),(00xxx及),(00xxx时,)('xf符号相同,则)(xf在0x处无极值.定理(第一充分条件)设)(xf在0x处具有二阶导数,且0)(0'xf,0)(0''xf,那末(1)当0)(0''xf时,函数)(xf在0x处取得极大值;(2)当0)(0''xf时,函数)(xf在0x处取得极小值.定理(第二充分条件)求极值的步骤:);()1xf求导数;0)()2的根求驻点，即方程xf;,)()()3判断极值点在该点的符号在驻点左右的正负号或检查xfxf.)4求极值步骤:1)求驻点和不可导点;2)求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,哪个大哪个就是最大值,哪个小哪个就是最小值;注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)(3)最大值、最小值问题实际问题求最值应注意:1)建立目标函数;2)求最值;（或最小）值．函数值即为所求的最大点，则该点的若目标函数只有唯一驻(4)曲线的凹凸与拐点定义;)(,2)()()2(,,,)(212121的上的图形是（向上）凹在那末称恒有两点上任意如果对上连续在区间设IxfxfxfxxfxxIIxf;)(,2)()()2(,,212121的上的图形是（向上）凸在那末称恒有上任意两点如果对区间IxfxfxfxxfxxI;)(],[)(,)(),(,],[)(的或凸内的图形是凹在那末称的或凸内的图形是凹且在内连续在如果baxfbabaxf定理1;],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(),(,),(,],[)(上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在导数内具有二阶在上连续在如果baxfxfbaxfxfbababaxf连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.定理2如果)(xf在),(00xx内存在二阶导数,则点)(,00xfx是拐点的必要条件是0)(0xf.方法1:,0)(,)(00xfxxf且的邻域内二阶可导在设函数;))(,(,)()1(000即为拐点点变号两近旁xfxxfx.))(,(,)()2(000不是拐点点不变号两近旁xfxxfx方法2:.)())(,(,0)(,0)(,)(00000的拐点曲线是那末而且的邻域内三阶可导在设函数xfyxfxxfxfxxf利用函数特性描绘函数图形.第一步第二步确定函数)(xfy的定义域,对函数进行奇偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论,求出函数的一阶导数)('xf和二阶导数)(xf;求出方程0)('xf和0)(xf在函数定义域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.(5)函数图形的描绘第三步确定在这些部分区间内)('xf和)(xf的符号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹凸与拐点（可列表进行讨论）；第四步确定函数图形的水平、铅直渐近线以及其他变化趋势;第五步描出与方程0)('xf和0)(xf的根对应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综合前四步讨论的结果画出函数的图形.例1.]65,6[sinln的正确性上在验证罗尔定理对xy解),1,0(,22:kkxkD.]65,6[上连续且在内处处存在在又)65,6(cotxy)65()6(ff并且2ln二、典型例题.]65,6[sinln的条件上满足罗尔定理在函数xy,0cotxy由内显然有解在)65,6(.2x,2取.0)(f则这就验证了命题的正确性.例2.)1(51lim520xxxx求极限解.2的次数为分子关于x515)51(51xx)()5()151(51!21)5(51122xoxx)(2122xoxx)1()](21[lim2220xxoxxxx原式.21例3.)()(,)1,0(,:,1)1(,0)0(,)1,0(,]1,0[)(bafbfabaffxf使同的内存在不在对任意给定的正数试证且内可导在上连续在设证,均为正数与ba10baa,]1,0[)(上连续在又xf由介值定理,,)(baaf使得),1,0(存在有上分别用拉氏中值定理在,]1,[],,0[)(xf★),0(),()0()0()(fff)1,(),()1()()1(fff,1)1(,0)0(ff注意到由,有))(())((1bafbbafa)(fbaa)()(11ff)(fbab+,得)()(ff.)()(bafbfa例4).,0,0(,2ln)(lnlnyxyxyxyxyyxx证明不等式证),0(ln)(ttttf令,1ln)(ttf则,01)(ttf.0,0),,(),(ln)(是凹的或在yxxyyxtttf)2()]()([21yxfyfxf于是,2ln2]lnln[21yxyxyyxx即.2ln)(lnlnyxyxyyxx即例5])1,0[(21)(:,1)(),1()0(,]1,0[)(xxfxfffxf证明且上二阶可微在若函数证],1,0[0x设有展成一阶泰勒公式处把在,)(0xfx20000))((21))(()()(xxfxxxfxfxf则有令,1,0xx201000)(21)()()0(xfxxfxff202000)1)((21)1)(()()1(xfxxfxff★2022010)1)((21)(21)(xfxfxf–,),1()0(ff注意到则有,1)(xf20200)1(2121)(xxxf41)21(20x,]1,0[0知又由x,21210x21)(0xf于是有.,0可知命题成立的任意性由x;74lim.3;1cos2sinlnlim.2;1lim.161210nnnnxxxexxxxex求下列极限：例xxxxxxxxxxex1010101lim1lim1lim解1xxxxxxxxexxxxxx111ln111ln1112111ln11xxxxxxxx111ln1lim1lim2010原式xxxxex111ln1lim20.2e原式型.2141211lim121lnlim11ln1lim02020xxxxxxxxxxxxxxx型00型00xxxxx111ln1lim20其中洛必达法则解题时，注意将易求极限的因式分离出来.解2xxxx1cos2sinlnlimxxxx11cos2sinlnlim.2求导时保留相同的因子，约分化简，也即相当于变量代换.型0型00xxxxxxxx11cos2sin11sin122coslimnn