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习题241求由下列方程所确定的隐函数y的导数dxdy(1)y22xy90(2)x3y33axy0(3)xyexy(4)y1xey解(1)方程两边求导数得2yy2y2xy0于是(yx)yyxyyy(2)方程两边求导数得3x23y2y2ay3axy0于是(y2ax)yayx2axyxayy22(3)方程两边求导数得yxyexy(1y)于是(xexy)yexyyyxyxexyey(4)方程两边求导数得yeyxeyy于是(1xey)yeyyyxeey12求曲线323232ayx在点)42,42(aa处的切线方程和法线方程解方程两边求导数得032323131yyx于是3131yxy在点)42,42(aa处y1所求切线方程为)42(42axay即ayx22所求法线方程为)42(42axay即xy03求由下列方程所确定的隐函数y的二阶导数22dxyd(1)x2y21(2)b2x2a2y2a2b2(3)ytan(xy)(4)y1xey解(1)方程两边求导数得2x2yy0yyx3322221)(yyxyyyxxyyyxyyxy(2)方程两边求导数得2b2x2a2yy0yxaby2222222222)(yyxabxyabyyxyaby32432222222yabyaxbyaab(3)方程两边求导数得ysec2(xy)(1y)1)(cos1)(sec1)(sec222yxyxyxy222211)(sin)(cos)(sinyyxyxyx52233)1(2)11(22yyyyyyy(4)方程两边求导数得yeyxeyyyeyexeeyyyyy2)1(113222)2()3()2()3()2()()2(yyeyyyeyyeyyeyyyyy4用对数求导法求下列函数的导数(1)xxxy)1((2)55225xxy(3)54)1()3(2xxxy(4)xexxy1sin解(1)两边取对数得lnyxln|x|xln|1x|，两边求导得xxxxxxyy11)1ln(1ln1于是]111[ln)1(xxxxxyx(2)两边取对数得)2ln(251|5|ln51ln2xxy两边求导得22251515112xxxyy于是]225151[25512552xxxxxy(3)两边取对数得)1ln(5)3ln(4)2ln(21lnxxxy两边求导得1534)2(211xxxyy于是]1534)2(21[)1()3(254xxxxxxy(4)两边取对数得)1ln(41sinln21ln21lnxexxy两边求导得)1(4cot21211xxeexxyy于是])1(4cot2121[1sinxxxeexxexxy]1cot22[1sin41xxxeexxexx5求下列参数方程所确定的函数的导数dxdy(1)22btyatx(2)cos)sin1(yx解(1)tabatbtxydxdytt23232(2)cossin1sincosxydxdy6已知.cos,sinteytextt求当3t时dxdy的值解tttttetetetexydxdyttttttcossinsincoscossinsincos当3t时23313123212321dxdy7写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程(1)tytx2cossin在4t处(2)2221313tatytatx在t=2处解(1)ttxydxdyttcos2sin2当4t时222224cos)42sin(2dxdy220x00y所求切线方程为)22(22xy即0222yx所求法线方程为)22(221xy即0142yx(2)222222)1(6)1(23)1(6tatttattatyt222222)1(33)1(23)1(3tatattattaxt2212336ttataatxydxdytt当t2时3421222dxdyax560ay5120所求切线方程为)56(34512axay即4x3y12a0所求法线方程为)56(43512axay即3x4y6a08求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22dxyd(1).122tytx(2)tbytaxsincos(3)tteyex23(4))()()(tfttfytfxtt设f(t)存在且不为零解(1)txydxdytt1322211)(tttxydxydttx(2)tabtatbxydxdyttcotsincostabtatabxydxydttx32222sinsincsc)((3)ttttteeexydxdy23232tttttxeeexydxyd3222943232)((4)ttftftfttfxydxdytt)()()()()(1)(22tfxydxydttx9求下列参数方程所确定的函数的三阶导数33dxyd(1)321ttytx(2)ttytxarctan)1ln(2解(1)tttttdxdy231)1()(223)31(412)231(3222tttttdxyd)1(832)31(4125333tttttdxyd(2)tttttttdxdy2112111])1[ln()arctan(222tttttdxyd4112)21(22223422338112)41(ttttttdxyd10落在平静水面上的石头产生同心波纹若最外一圈波半径的增大率总是6m/s问在2秒末扰动水面面积的增大率为多少？解设波的半径为r对应圆面积为S则Sr2两边同时对t求导得St2rr当t2时r6212rt6故St|t22126144(米2秒)11注水入深8m上顶直径8m的正圆锥形容器中其速率为4m2/min当水深为5m时其表面上升的速度为多少？解水深为h时水面半径为hr21水面面积为241hS水的体积为3212413131hhhhSVdtdhhdtdV2312dtdVhdtdh24已知h5(m)，4dtdV(m3/min)因此2516425442dtdVhdtdh(m/min)12溶液自深18cm直径12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形筒中开始时漏斗中盛满了溶液已知当溶液在漏斗中深为12cm时其表面下降的速率为1cm/min问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？解设在t时刻漏斗在的水深为y圆柱形筒中水深为h于是有hyr22253118631由186yr得3yr代入上式得hyy2225)3(3118631即hy233253118631两边对t求导得hyyt222531当y12时yt1代入上式得64.025165)1(1231222th(cm/min).