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习题941求球面x2y2z2a2含在圆柱面x2y2ax内部的那部分面积解位于柱面内的部分球面有两块其面积是相同的由曲面方程z222yxa得222yxaxxz222yxayyz于是dxdyyzxzAaxyx2222)()(12dxdyyxaaaxyx22222220cos02214adada)2(2)sin(4220adaaa2求锥面z22yx被柱面z22x所割下的部分的曲面的面积解由z22yx和z22x两式消z得x2y22x于是所求曲面在xOy面上的投影区域D为x2y22x由曲面方程22yx得22yxxxz22yxyyz于是dxdyyzxzAyx1)1(2222)()(1221)1(22dxdyyx3求底面半径相同的两个直交柱面x2y2R2及x2z2R2所围立体的表面积解设A1为曲面22xRz相应于区域Dx2y2R2上的面积则所求表面积为A4A1dxdyyzxzAD22)()(14dxdyxRxD22220)(14dxdyxRRD2242221681422RdxRdyxRdxRRRRRxRxR4设薄片所占的闭区域D如下求均匀薄片的质心(1)D由pxy2xx0y0所围成解令密度为1因为区域D可表示为pxyxx20,00所以300020232200pxdxpxdydxdxdyAxxpxD0002053211100xdxpxxAxdydxAxdxdyAxxxpxD000208311100ypxdxAydydxAydxdyAyxxpxD所求质心为)83,53(00yx(2)D是半椭圆形闭区域}0,1|),{(2222ybyaxyx解令密度为1因为闭区域D对称于y轴所以0xabdxdyAD21(椭圆的面积)34)(21112222022bdxxaabAydydxAydxdyAyaaaaxaDab所求质心为)34,0(b(3)D是介于两个圆racosrbcos(0ab)之间的闭区域解令密度为1由对称性可知0y)(4)2()2(2222ababdxdyAD(两圆面积的差))(2cos212220coscosbaabbadrrrdAxdxdyAxbaD所求质心是)0,)(2(22baabba5设平面薄片所占的闭区域D由抛物线yx2及直线yx所围成它在点(xy)处的面密度(xy)x2y求该薄片的质心解351)(21),(10641022dxxxydyxdxdxdyyxMxxD4835)(2111),(110751032dxxxMydyxdxMdxdyyxxMxxxD5435)(3111),(1108510222dxxxMdyyxdxMdxdyyxyMyxxD质心坐标为)5435,4835(6设有一等腰直角三角形薄片腰长为a各点处的面密度等于该点到直角顶点的距离的平方求这薄片的质心解建立坐标系使薄片在第一象限且直角边在坐标轴上薄片上点(xy)处的函数为x2y2由对称性可知yx4022061)(),(adyyxdxdxdyyxMxaaDadyyxxdxMdxdyyxxMyxxaaD52)(1),(10220薄片的质心坐标为)52,52(aa7利用三重积分计算下列由曲面所围成立体的质心(设密度1)(1)z2x2y2z1解由对称性可知重心在z轴上故0yx31dvV(圆锥的体积)431120101rzdzrdrdVzdvVz所求立体的质心为)43,0,0((2)222yxAz222yxaz(Aa0)z0解由对称性可知重心在z轴上故0yx)(3232323333aAaAdvV(两个半球体体积的差))(8)(3cossin1cossin133442000332aAaAdrrddVddrdrVzA所求立体的质心为))(8)(3,0,0(3344aAaA(3)zx2y2xyax0y0z0解axayxdzdydxV00022axadyyxdx0022)(adxxaxax032])(31)([461axdvVx1aaadzdyxdxVaxayx526115114500022axy52zdvVz1axayxzdzdydxV0002212307a所以立体的重心为)307,52,52(2aaa8设球体占有闭区域{(xyz)|x2y2z22Rz}它在内部各点的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方试求这球体的质心解球体密度为x2y2z2由对称性可知质心在z轴上即0yx在球面坐标下可表示为cos20,20,20Rr于是2020cos2022sinRdrrrdddvM2055cossin5322dR51532R2020cos205cossin11RdrrddMzdvMzRrRdRM45153238cossin6642562076故球体的质心为)45,0,0(R.9设均匀薄片(面密度为常数1)所占闭区域D如下求指定的转动惯量(1)}1|),{(2222byaxyxD求Iy解积分区域D可表示为22,xaabyxaabaxa于是aaxaabxaabaaDydxxaxabdydxxdxdyxI2222222222ba341提示4202422282sin2sinatdtataxdxxaxaa(2)D由抛物线xy292与直线x2所围成求Ix和Iy解积分区域可表示为2/32/3,20xyxx于是57222273220232/32/32202dxxdyydxdxdyyIDxxx7962620252/32/32022dxxdydxxdxdyxIDxxy(3)D为矩形闭区域{(xy)|0xa0yb}求Ix和Iy解331330202abbadyydxdxdyyIDbax331330022babadydxxdxdyxIDbay10已知均匀矩形板(面密度为常量)的长和宽分别为b和h计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量解取形心为原点取两旋转轴为坐标轴建立坐标系3222222121bhdyydxdxdyyIhhDbbx3222222121hbdydxxdxdyxIhhDbby11一均匀物体(密度为常量)占有的闭区域由曲面zx2y2和平面z0|x|a|y|a所围成(1)求物体的体积解由对称可知ayxadzdydxV0002244032022038)3(4)(4adxaaxdyyxdxaaa(2)求物体的质心解由对称性知0yxaayxzdzdydxVzdvMz0002241aadyyyxxdxV004224)2(2205234157)532(2adxaxaaxVa(3)求物体关于z轴的转动惯量解aayxzdzyxdydxdvyxI000222222)(4)(aadyyyxxdx004224)2(4664511245284aa12求半径为a、高为h的均匀圆柱体对于过中心而平行于母线的轴的转动惯量(设密度1)解建立坐标系使圆柱体的底面在xOy面上z轴通过圆柱体的轴心用柱面坐标计算dzdrdrdvyxIz322)(42000321hadzdrrdah13设面密度为常量的匀质半圆环形薄片占有闭区域}0,|)0,,{(2221xRyxRyxD求它对位于z轴上点M0(00a)(a0)处单位质量的质点的引力F解引力F(FxFyFz)由对称性Fy0而DxdayxxGF2/3222)(222/322221)(cosRRdadG][ln22211222212212222aRRaRRRaRRaRGDzayxdGaF2/3222)(222/32221)(RRaddGa]11[221222aRaRGa14设均匀柱体密度为占有闭区域{(xyz)|x2y2R20zh}求它对于位于点M0(00a)(ah)处单位质量的质点的引力解由柱体的对称性可知沿x轴与y轴方向的分力互相抵消故FxFy0而dvzayxzaGFz2/3222])([2222/32220])([)(RyxhzayxdxdydzzaG2002/3220])([)(RhzarrdrddzzaGhdzzaRzazaG022])(11)[(2])([22222aRhaRhG