微积分上复习

微积分（上）知识点微积分（上）复习2/58微积分（上）第一章函数1.函数概念函数的两要素：定义域Df和对应规则f,由f[(x)]求f(x)2.函数的基本性质奇偶性、单调性、有界性与周期性3.反函数的概念本义反函数、矫形反函数)(1yfx)(1xfy单调函数一定存在反函数。4.经济函数成本函数、收益函数、利润函数同步练习P1一、4，12，93/58微积分（上）第二章极限与连续1.极限存在的充要条件2.无穷小与无穷大的概念与性质（1）无穷小AxfxfAxfxxx)(lim)(lim)(lim)1(AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim)2(0000lim,)()(lim)3(AxfAxf)0(lim有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。有界量与无穷小量的积仍是无穷小。)0lim()(o)lim(低阶的无穷小比))1,0(lim(cc同阶无穷小与)1lim(~同步练习P3一、20二、124/58微积分（上）（2）无穷大)(limy无穷大与有界变量的代数和是无穷大.无穷大与非零常数的乘积是无穷大.无穷大与无穷大的乘积是无穷大.无穷大与无穷大和不一定是无穷大.（3）无穷小与无穷大关系yyyyy1lim)0(0lim01limlim等价无穷小替换必须是因子。5/58微积分（上）3.连续函数的概念,0lim)1(0yx函数连续(2)闭区间连续函数的性质).()(lim00xfxfxx函数连续最值定理Mxfm)(有界性定理介值定理)),(,()(baMcmcf零点定理)),(,0)()((0)(babfaff(极限计算代入法的理论基础)同步练习P4一、29同步练习P6四、26/58微积分（上）(3)间断点第一类间断点(左右极限都存在的点).②跳跃间断点(左右极限不相等)①可去间断点(左右极限相等)第二类间断点(左右极限至少有一个不存在的点).非无穷间断点例如：振荡无穷间断点(左右极限至少有一个为)同步练习P5二、157/58微积分（上）4.两个重要极限1sinlim0xxx第一重要极限)0)((1)()(sinlim0)(xxxxennn)11(lim第二重要极限exxx)(1)(1lim,0)(则若exxx)11(limexxx10)1(lim同步练习P4二、48/58微积分（上）5.极限的计算(1)确定型极限的计算:主要利用极限运算法则、无穷小与有界变量的乘积仍为无穷小、无穷大与无穷小的关系。(2)未定式极限的计算:型00等价无穷小替换、分解因式（或根式有理化）约去零因子、第一个重要极限、洛比达法则型分子、分母同除一个无穷大、洛比达法则型1第二个重要极限型0化乘法为除法型通分或根式有理化幂指函数未定式借助对数恒等变形转化为基本型型000,,1同步练习P6一、4，11，14二、1，69/58微积分（上）第三章导数与微分1.导数的概念和几何意义xxfxxfxfx)()(lim)()1(0000000)()(lim)()2(0xxxfxfxfxx.))(,()()()3(000处的切线的斜率在点表示曲线xfxxfyxf切线方程：))(()(000xxxfxfy2.导数的计算(1)求导公式及四则运算法则注：定义式求导：①分段函数分段点②某点是否可导未知③用公式求导太繁。同步练习P6一、6二、2，3，4同步练习P7一、2310/58微积分（上）(2)复合函数求导——链式法则)()(内层函数外层函数的导数复合函数)()]([)]([xxfxfdxdududydxdy或(4)对数求导法方程两边同时对x求导,再解以y'为未知数的方程.(3)隐函数求导法先方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.(5)高阶导数2222dxfdfdxydy只须逐阶求导:)(11nnnndxyddxddxyd同步练习P6一、13，33，35二、6，9，1611/58微积分（上）(6)幂指函数求导法)()]([xgxfy①取自然对数化为隐函数再求导.②利用对数恒等式化为以e为底的复合函数,再求导.3.微分的概念及计算(1)微分公式及四则运算法则dxxfdy)((2)微分形式不变性duufdy)((3)微分的近似计算xxfxfxxf)()()(000xxfxfxxf)()()(000,较小时当xdyy同步练习P6一、8，28，3112/58微积分（上）4.连续、可导、可微的关系连续可微可导5.边际与弹性6.分段函数的连续与可导判断边际成本)(xC边际收益表示销售第(x+1)个产品所增加的收入近似值.)(xR边际利润)(xL表示销售第(x+1)个产品所增加的利润近似值.表示生产第(x+1)个产品所增加的成本近似值.当价格为p时，若提价(降价)1%，则需求量将减少（增加）%dEpdQdQQpEdlnlnxdydyyxExEylnln同步练习P7一、27二、513/58微积分（上）第四章中值定理与导数的应用1.中值定理)),((0)(baf至少有一个闭连开导端值相等(1)罗尔定理(2)拉格朗日中值定理)),(()()()(baabafbff至少有一个闭连开导)),(()()()()()()(baagbgafbfgf至少有一个闭连开导(3)柯西中值定理推论:Cxfxf)(0)(Cxgxfxgxf)()()()(14/58微积分（上）(4).中值定理及推论证明等式和不等式①等式的f(x)=A证明。取一特殊值计算再在上式成立的范围内；，利用拉氏推论得先证CCxfxf)(0)(0)(g②含有f'()等式的证明得到要证的结论。中值定理的条件，即可满足罗尔或拉格朗日，验证构建辅助函数)()(xFxFx0)(xg)()(xgxF③证明含有某函数在两点的函数值之差f(b)f(a)的不等式进行适当的缩放。，再对转化为将两点函数值之差先用拉格朗日中值定理)())(()()(fabfafbf同步练习P10一、1五、3，415/58微积分（上）2.罗比塔法则(1)罗比塔法则适用范围:(2)罗比塔法则技巧①使用法则前，进行等价无穷小因子替换或用极限不为零因子的极限值置换，要尽可能简化极限表达式；②极限存在的“项”，先分离出去。③数列的极限要先转化为函数的极限，才能使用法则。型未定式型、00)()()(lim)()(lim00或Axgxfxgxfxxxx利用罗比塔法则求极限,使用前检查是否满足条件,一定是对分子分母分别求导;可以连续使用.16/58微积分（上）3.单调区间与极值(1)写出函数的定义域；(2)求驻点y'=0和y'不存在的点；(3)列表考察所求的点将定义域分成的若干子区间内y'的符号，判定函数的单调性，确定极值点。4.凹凸区间与拐点(1)写出函数的定义域；(2)求y=0和y不存在的点；(3)列表考察所求的点将定义域分成的若干子区间内y“的符号，判定区间内的凹凸，确定拐点。17/58微积分（上）5.最值与应用题(1)所有驻点和不可导点的函数值与区间两端点函数值比较,可得最值;(2)实际问题中的最值：一般是唯一的极值转化为实际问题的最值（注意极值的判定方法）；(3)利用最值证明不等式：要证f(x)≥A或(f(x)≤A),只需证明A是f(x)的最值。6.渐近线(1)水平渐近线))(lim()()(bxfbyxxx(2)铅垂渐近线))(lim()()(xfaxaxaxax同步练习P12四、718/58微积分（上）(3)斜渐近线baxyxxfax)(lim])([limaxxfbx7.微分法作图(三点一线作图法)同步练习P10一、8，13二、3四、88.泰勒中值定理与泰勒公式10)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)())(()()(nnnnxxnfxxnxfxxxfxxxfxfxf麦克劳林公式)10()!1()(!)0(!2)0()0()0()(1)1()(2nnnnxnxfxnfxfxffxf19/58微积分（上）第五章不定积分1.原函数与不定积分的概念：F(x)是f(x)在I上的一个原函数.函数f(x)在I上连续，或最多有有限个有限间断点，f(x)在I上原函数存在，即f(x)在I上可积。CxFdxxf)()()()(xfxFdxxfxdF)()(不定积分是所有原函数的集合。20/58微积分（上）2.不定积分的性质：dxxfdxxfdxfdxxf)(])([)(])([或CxFxdFCxFdxxF)()()()(或dxxgdxxfdxxgxf)()()]()([不定积分的线性性质：不定积分与求导互逆运算的性质：)0,0(21/58微积分（上）⑴按方法分有分部积分法第二换元法凑微分法第一换元法换元积分法直接积分法)(3.不定积分的计算：第一换元法（凑微分）dxxg)(CuF)()()]([xdxf变形dxxxf)()]([凑微分)(ux换元duuf)(.)]([CxF求积分)(xu22/58微积分（上）第二换元法dxxf)(CtF)(dtttf)()]([)(tx换元.)]([1CxF求积分)(1xt)()()()()()(xduxvxvxuxdvxu分部积分公式dtttftdtfdxxf)()]([)()]([)(23/58微积分（上）⑵按被积函数分有两类不同函数的乘积三角函数无理函数有理函数有理函数积分，重点是真分式的积分。真分式先化为部分分式之和，再积分。真分式分解法：待定系数法（比较系数法、赋值法）恒等变形法（配项法）dxaxA.1)1()(.2mdxaxAmdxqpxxBAx2.3dxqpxxBAxn)(.42真分式的积分：24/58微积分（上）dxaxA.1CaxAaxdaxAln)(CaxmAaxdaxAmm1)(1)()()1()(.2mdxaxAmdxqpxxBAx2.3dxqpxxKqpxx22)(dxqpxxKdxqpxxqpxx222)(25/58微积分（上）dxqpxxKdxqpxxqpxx222)(dxpqpxKqpxxqpxxd)4()2(1)(2222dxpqpxKqpxx2222)4()2(1)ln(CpqpxpqKqpxx)42arctan(4)ln(22226/58微积分（上）dxqpxxBAxn)(.42122212)()1(21)1(232nnnxaxnaInanIdxxaBAxn)(22dxxaBdxxaAxnn)()(2222dxxaInn)(122设27/58微积分（上）积分计算的关键:如何根据被积函数的类别以及表达式的特征，迅速地选择恰当的积分方法。4.不定积分的应用已知切线，求原函数的曲线；已知边际函数求成本、收益、利润函数。28/58微积分（上）一.填空（每题2分，共20分）。的定义域是函数______________1arctan3.1xxy._______sin1sinlim.220xxxx类间断点。的第为函数点